ধরি, গুণকটি $x$।

শর্তানুসারে, $999 \times x$ এর শেষ তিন অঙ্ক ৯৩।

আমরা জানি, $999 = 1000 - 1$

সুতরাং, $(1000 - 1) \times x = 1000x - x$

এখানে $1000x$ এর শেষ তিন অঙ্ক শূন্য (০০০) হবে। তাই $x$ বিয়োগ করলে যে ভাগশেষ থাকবে তা আসলে $1000 - x$ (যদি $x < 1000$ হয়)।

প্রশ্নমতে, $1000 - x = 193$

বা, $x = 1000 - 193 = 807$

অতএব, গুণকটি ৮০৭।

সম্পূর্ণ গুণটি হলো:

৯৯৯ × ৮০৭ = ৮,০৬,১৯৩

ধরি, সংখ্যা দুটি $A$ ও $B$ এবং ভাজক $D$।

শর্তানুসারে,

$A = mD + 580$

$B = nD + 475$

সমষ্টি $(A+B) = (m+n)D + (580 + 475) = (m+n)D + 1055$

আবার প্রশ্নমতে, $(A+B)$ কে $D$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ ২৫ থাকে।

অর্থাৎ, $1055$ কে $D$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ ২৫৫ থাকে।

সুতরাং, $(1055 - 255)$ সংখ্যাটি $D$ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।

$1055 - 255 = 800$

ভাজক $D$ অবশ্যই ভাগশেষ ৫৮০ এর চেয়ে বড় হতে হবে।

৮০০ এর এমন গুণনীয়ক যা ৫৮০ এর চেয়ে বড়, তা হলো ৮০০।

অতএব, ভাজকটি ৮০০।

মোট টাকা = ১২৩০ টাকা

ব্যক্তি সংখ্যা = ৯১ জন

১২৩০ কে ৯১ দিয়ে ভাগ করলে:

$1230 \div 91 = 13$ (ভাগফল) এবং $47$ (ভাগশেষ)

সমানভাবে ভাগ করতে হলে ভাগশেষ শূন্য হতে হবে।

প্রয়োজনীয় অতিরিক্ত টাকা = ভাজক - ভাগশেষ

$= 91 - 47 = 44$ টাকা

অতএব, ন্যূনপক্ষে আর ৪৪ টাকা প্রয়োজন।

৩টি ২৫ পয়সা মুদ্রার মোট মূল্য = $3 \times 25 = 75$ পয়সা।

ধরি, এক পয়সার মুদ্রা $x$টি এবং ডবল পয়সার (২ পয়সা) মুদ্রা $y$টি।

শর্তানুসারে,

১) $x + y = 56$ (মোট মুদ্রা)

২) $1x + 2y = 75$ (মোট মূল্য)

সমীকরণ (২) থেকে সমীকরণ (১) বিয়োগ করে পাই:

$(x + 2y) - (x + y) = 75 - 56$

$y = 19$

এখন, $x = 56 - 19 = 37$

অতএব, এক পয়সার মুদ্রা ৩৭টি এবং ডবল পয়সার মুদ্রা ১৯টি।

ক ও খ সমান টাকা দিয়ে মোট ছাগল কিনেছে = $35 + 55 = 90$টি।

যেহেতু টাকা সমান দিয়েছে, তাই প্রত্যেকের পাওনা ছাগল = $90 \div 2 = 45$টি।

খ নিয়েছে ৩৫টি, অর্থাৎ তার পাওনার চেয়ে ১০টি কম নিয়েছে।

ক নিয়েছে ৫৫টি, অর্থাৎ তার পাওনার চেয়ে ১০টি বেশি নিয়েছে।

ক খ-কে ১০টি ছাগলের দাম হিসেবে ২ টাকা দিয়েছে।

সুতরাং, ১টি ছাগলের দাম = ০ টাকা

১টি ছাগলের দাম = $20 \div 10 = 2$ টাকা

অতএব, প্রত্যেক ছাগলের মূল্য ২ টাকা।

ধরি, বালকের সংখ্যা $x$।

প্রথম শর্তানুসারে, মোট টাকা = $6x + 18$

দ্বিতীয় শর্তানুসারে, মোট টাকা = $10x - 22$

সুতরাং,

$6x + 18 = 10x - 22$

$10x - 6x = 18 + 22$

$4x = 40$

$x = 10$

বালকের সংখ্যা ১০ জন।

মোট টাকা = $6(10) + 18 = 60 + 18 = 78$ টাকা।

অতএব, আমার কাছে ৭৮ টাকা আছে এবং বালকের সংখ্যা ০ জন।

ধরি, মিস্ত্রী $x$ দিন কাজ করেছে এবং $y$ দিন অনুপস্থিত ছিল।

মোট পাওনা = কাজের দিনের মজুরি - অনুপস্থিতির জরিমানা

১ টাকা ৬০ পয়সা = ১.৬০ টাকা; ৪০ পয়সা = ০.৪০ টাকা।

$1.60x - 0.40y = 33.60$

উভয় পক্ষকে ০.৪০ দিয়ে ভাগ করে পাই:

$4x - y = 84$ ... (১)

সাধারণত মাসে ৩০ বা ৩১ দিন হয়।

যদি মাস ৩০ দিনের হয়: $x + y = 30 \Rightarrow y = 30 - x$

সমীকরণ (১) এ বসিয়ে: $4x - (30 - x) = 84 \Rightarrow 5x = 114$ (পূর্ণসংখ্যা নয়)

যদি মাস ৩১ দিনের হয়: $x + y = 31 \Rightarrow y = 31 - x$

সমীকরণ (১) এ বসিয়ে: $4x - (31 - x) = 84 \Rightarrow 5x - 31 = 84 \Rightarrow 5x = 115 \Rightarrow x = 23$

তাহলে অনুপস্থিত দিন $y = 31 - 23 = 8$ দিন।

অতএব, সে ৮ দিন অনুপস্থিত ছিল।

ধরি, রামের দৈনিক আয় $R$ এবং হরির দৈনিক আয় $H$।

শর্তানুসারে,

$16R + 16H = 24R$

$16H = 24R - 16R$

$16H = 8R$

$2H = R$ (রামের আয় হরির আয়ের দ্বিগুণ)

প্রশ্নে মোট আয়ের কথা বলা হয়েছে যা রামের ২৪ দিনের আয়ের সমান।

মোট আয় = $24R$

যেহেতু $R = 2H$, তাই মোট আয় = $24 \times (2H) = 48H$

অতএব, উহা হরির ৪৮ দিনের আয়ের সমান।

ধরি, প্রত্যেক বালকের অংশ $x$ টাকা।

তাহলে, প্রত্যেক স্ত্রীলোকের অংশ = $3x$ টাকা।

এবং প্রত্যেক পুরুষের অংশ = $2 \times (3x) = 6x$ টাকা।

মোট টাকার পরিমাণ = ৫৫০১.৫০ টাকা

সমীকরণ দাঁড়ায়:

$4(6x) + 6(3x) + 8(x) = 5501.50$

$24x + 18x + 8x = 5501.50$

$50x = 5501.50$

$x = 5501.50 \div 50 = 110.03$

প্রত্যেক বালকের অংশ = ১১০.০৩ টাকা

প্রত্যেক স্ত্রীলোকের অংশ = $3 \times 110.03 =$ ৩৩০.০৯ টাকা

প্রত্যেক পুরুষের অংশ = $6 \times 110.03 =$ ৬৬০.১৮ টাকা

ধরি, আমার নিকট $x$ টাকা আছে।

২ টাকা দরে প্রাপ্ত তৈল = $\frac{x}{32}$ গ্যালন

৪ টাকা দরে প্রাপ্ত তৈল = $\frac{x}{4}$ গ্যালন

শর্তানুসারে,

$\frac{x}{4} - \frac{x}{32} = 5$

$\frac{8x - x}{32} = 5$

$\frac{7x}{32} = 5$

$7x = 160$

$x = \frac{160}{7} = 22.857...$

অতএব, আমার নিকট $22 \frac{6}{7}$ টাকা (বা আনুমানিক ২২.৮৬ টাকা) আছে।

দ্রষ্টব্য: প্রশ্নের সংখ্যাগুলো যদি ৩২ এবং ৮ হতো অথবা পার্থক্য ১৫ গ্যালন হতো, তবে উত্তর পূর্ণসংখ্যা আসত। যেমন: যদি পার্থক্য ১৫ গ্যালন হতো, তবে $x=160$ টাকা হতো।

ধরি, ক-এর পাওনা $K$ এবং খ-এর পাওনা $Kh$。

শর্তানুসারে, $6K = 8Kh$

বা, $\frac{K}{Kh} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

অর্থাৎ, ক ও খ-এর টাকার অনুপাত ৪ : ৩。

মোট টাকা = ২৮.৮ টাকা

ক-এর অংশ = $\frac{4}{4+3} \times 28.84 = \frac{4}{7} \times 28.84$

$= 4 \times 4.12 = 16.48$ টাকা

খ-এর অংশ = $\frac{3}{7} \times 28.84$

$= 3 \times 4.12 = 12.36$ টাকা

অতএব, ক পাবে ১৬.৪৮ টাকা এবং খ পাবে ১২.৩ টাকা।