Class 9 Model Math Paper with Solutions
AC Institution, Malda – গণিত প্রশ্নপত্রের সমাধান (Set 1)
Math Question Paper Solutions | পূর্ণমান: ৪০
প্রশ্ন ১
(i)
দুটি অমূলদ সংখ্যার মধ্যে অসংখ্য অমূলদ সংখ্যা থাকে।
উত্তর: (c)
(ii)
\[\begin{aligned}4^x&=8^3\\2^{2x}&=2^{9}\\2x&=9\\x&=\tfrac{9}{2}\end{aligned}\]
উত্তর: (b)
(iii)
\(2\sqrt{x}=2x^{1/2}\)-এ \(x\)-এর ঘাত পূর্ণসংখ্যা নয়, তাই রাশিটি বহুপদী সংখ্যামালা নয়;
ফলে এর মাত্রা নির্ণয় করা যায় না।
উত্তর: (d)
যদি মূল প্রশ্নে পদটি \(2\sqrt{2}\,x\) হয়ে থাকে, তবে মাত্রা হবে 3।
প্রশ্ন ২
\(x=0,\ y=0\) বসালে \(2(0)+3(0)=0\) সিদ্ধ হয়।
উত্তর: মূল (0, 0) বিন্দুগামী
প্রশ্ন ৩
(i)
সমীকরণ দুটি যোগ করে: \(11x=11\), তাই \(x=1\) ও \(y=1\)।
সমীকরণদ্বয়ের একটিই সমাধান, অসংখ্য নয়।
মিথ্যা
(ii)
দু-জোড়া বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল হলে চতুর্ভুজটি অবশ্যই সামান্তরিক।
মিথ্যা
প্রশ্ন ৪ (যে-কোনো চারটি)
(i)
রম্বসের সব বাহু সমান, তাই \(BC=CD=4\) সেমি।
\(\triangle BCD\)-তে \(BC=CD\) এবং \(\angle BCD=60^\circ\), অতএব
\(\angle CBD=\angle CDB=60^\circ\); ত্রিভুজটি সমবাহু।
BD = 4 সেমি
(ii)
\(x=3y\) হলে
\[\begin{aligned}3t&=3\left(\tfrac{2t}{3}-1\right)\\3t&=2t-3\\t&=-3\end{aligned}\]
t = −3
(iii)
\[\begin{aligned}2(AB+BC)&=40\\AB+BC&=20\\BC&=20-12=8\end{aligned}\]
BC = 8 সেমি
(iv)
\(p(x)=4x^2-kx+1\)। \((x-1)\) উৎপাদক হলে \(p(1)=0\):
\[\begin{aligned}4-k+1&=0\\k&=5\end{aligned}\]
k = 5
(v)
ব্যাসার্ধ = কেন্দ্র থেকে বিন্দুর দূরত্ব
\[r=\sqrt{(3-0)^2+(4-0)^2}=\sqrt{25}\]
ব্যাসার্ধ = 5 একক
প্রশ্ন ৫
প্রদত্ত: চতুর্ভুজ \(ABCD\)-এর কর্ণ \(AC\) ও \(BD\) পরস্পরকে \(O\) বিন্দুতে
সমদ্বিখণ্ডিত করে, অর্থাৎ \(OA=OC\) এবং \(OB=OD\)।
প্রমাণ্য: \(ABCD\) একটি সামান্তরিক।
প্রমাণ: \(\triangle AOB\) ও \(\triangle COD\)-এ
\(OA=OC\), \(OB=OD\) এবং \(\angle AOB=\angle COD\) (বিপ্রতীপ কোণ)।
\(\therefore\ \triangle AOB\cong\triangle COD\) (SAS)।
সুতরাং \(AB=CD\) এবং \(\angle OAB=\angle OCD\)।
\(\angle OAB\) ও \(\angle OCD\) একান্তর কোণ এবং সমান, তাই \(AB\parallel CD\)।
একইভাবে \(\triangle AOD\cong\triangle COB\) (SAS) থেকে \(AD=BC\) এবং \(AD\parallel BC\)।
বিপরীত বাহুগুলি সমান ও সমান্তরাল, \(\therefore\ ABCD\) একটি সামান্তরিক। (প্রমাণিত)
প্রশ্ন ৬ (যে-কোনো একটি)
(i)
প্রদত্ত: সামান্তরিক \(ABCD\)-এর কর্ণ \(AC\) ও \(BD\) পরস্পরকে \(O\)-তে
ছেদ করে এবং \(AC\perp BD\)।
প্রমাণ: সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই \(AO=OC\)।
\(\triangle AOB\) ও \(\triangle COB\)-এ: \(AO=CO\), \(\angle AOB=\angle COB=90^\circ\),
\(OB\) সাধারণ।
\(\therefore\ \triangle AOB\cong\triangle COB\) (SAS), অতএব \(AB=CB\)।
আবার \(AB=CD\) ও \(BC=AD\) (বিপরীত বাহু)। সুতরাং \(AB=BC=CD=DA\)।
\(\therefore\ ABCD\) একটি রম্বস। (প্রমাণিত)
(ii)
প্রদত্ত: আয়তক্ষেত্র \(ABCD\)-এর কর্ণ \(AC\) ও \(BD\)।
প্রমাণ: \(\triangle ABC\) ও \(\triangle DCB\)-এ:
\(AB=DC\) (বিপরীত বাহু), \(BC\) সাধারণ, \(\angle ABC=\angle DCB=90^\circ\)।
\(\therefore\ \triangle ABC\cong\triangle DCB\) (SAS), অতএব \(AC=DB\)।
অর্থাৎ আয়তক্ষেত্রের কর্ণ দুটির দৈর্ঘ্য সমান। (প্রমাণিত)
প্রশ্ন ৭ (যে-কোনো একটি)
(i)
ধরি \(\tfrac1y=u\)। তাহলে
\[\begin{aligned}3x-2u&=5&&\ldots(1)\\x+4u&=4&&\ldots(2)\end{aligned}\]
(1)-কে 2 দিয়ে গুণ করে: \(6x-4u=10\) …(3)
(2) ও (3) যোগ করে: \(7x=14\), অর্থাৎ \(x=2\)।
(2) থেকে: \(4u=2\), তাই \(u=\tfrac12\) এবং \(y=2\)।
সমাধান: x = 2, y = 2
(ii)
দুটি বর্গের যোগফল শূন্য হলে প্রতিটি বর্গ শূন্য হবে:
\[\begin{aligned}2x+3y-5&=0&&\ldots(1)\\3x+2y-5&=0&&\ldots(2)\end{aligned}\]
যোগ করে: \(5x+5y=10\), অর্থাৎ \(x+y=2\)।
বিয়োগ করে: \(x-y=0\), অর্থাৎ \(x=y\)।
অতএব \(x=y=1\)।
সমাধান: x = 1, y = 1
প্রশ্ন ৮ (যে-কোনো একটি)
(i)
\[\begin{aligned}&x^3+y^3-12xy+64\\&=x^3+y^3+4^3-3\cdot x\cdot y\cdot 4\end{aligned}\]
সূত্র:
\[\begin{aligned}a^3+b^3+c^3-3abc&=(a+b+c)\\&\quad\times(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\end{aligned}\]
\(a=x,\ b=y,\ c=4\) বসিয়ে:
\[\begin{aligned}&(x+y+4)\\&\times(x^2+y^2+16-xy-4y-4x)\end{aligned}\]
(ii)
\(x\)-এর সহগ \(1=(a+2)-(a+1)\), তাই
\[\begin{aligned}&x^2+x-(a+1)(a+2)\\&=x^2+(a+2)x-(a+1)x-(a+1)(a+2)\\&=x\{x+(a+2)\}-(a+1)\{x+(a+2)\}\end{aligned}\]
\[(x+a+2)(x-a-1)\]
প্রশ্ন ৯
\(4x-y=3\Rightarrow y=4x-3\)
\(2x+3y=5\Rightarrow y=\dfrac{5-2x}{3}\)
| \(4x-y=3\) | |||
|---|---|---|---|
| x | 0 | 1 | 2 |
| y | −3 | 1 | 5 |
| \(2x+3y=5\) | |||
|---|---|---|---|
| x | −2 | 1 | 4 |
| y | 3 | 1 | −1 |
ছক কাগজে (প্রতি অক্ষে 1 একক = 1 ঘর) বিন্দুগুলি বসিয়ে সরলরেখা দুটি আঁকলে
তারা \((1,1)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
সমাধান: x = 1, y = 1
প্রশ্ন ১০ (যে-কোনো দুটি)
(i)
ধরি \(A(-7,12)\), \(B(19,18)\), \(C(15,-6)\), \(D(-11,-12)\)।
\[\begin{aligned}AB&=\sqrt{26^2+6^2}=\sqrt{712}\\CD&=\sqrt{(-26)^2+(-6)^2}=\sqrt{712}\\BC&=\sqrt{(-4)^2+(-24)^2}=\sqrt{592}\\DA&=\sqrt{4^2+24^2}=\sqrt{592}\end{aligned}\]
\(\therefore\ AB=CD\) এবং \(BC=DA\)।
কর্ণ \(AC\) ও \(BD\)-এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে \(M_1\) ও \(M_2\):
\[\begin{aligned}M_1&=\left(\tfrac{-7+15}{2},\tfrac{12-6}{2}\right)=(4,3)\\M_2&=\left(\tfrac{19-11}{2},\tfrac{18-12}{2}\right)=(4,3)\end{aligned}\]
কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে এবং বিপরীত বাহুগুলি সমান, অতএব
\(ABCD\) একটি সামান্তরিক। (প্রমাণিত)
(ii)
\((a^m)^n=a^{mn}\) প্রয়োগ করে
\[\begin{aligned}\mathrm{LHS}&=a^{\frac{1}{(x-y)(x-z)}}\\&\quad\times a^{\frac{1}{(y-z)(y-x)}}\\&\quad\times a^{\frac{1}{(z-x)(z-y)}}\\&=a^{S}\end{aligned}\]
যেখানে
\[\begin{aligned}S&=\frac{1}{(x-y)(x-z)}\\&\quad+\frac{1}{(y-z)(y-x)}\\&\quad+\frac{1}{(z-x)(z-y)}\end{aligned}\]
\((x-z)=-(z-x)\), \((y-x)=-(x-y)\), \((z-y)=-(y-z)\) এবং
\(D=(x-y)(y-z)(z-x)\) ধরে
\[\begin{aligned}S&=-\frac{y-z}{D}-\frac{z-x}{D}-\frac{x-y}{D}\\&=-\frac{(y-z)+(z-x)+(x-y)}{D}\\&=-\frac{0}{D}=0\end{aligned}\]
\(\therefore\ \mathrm{LHS}=a^0=1=\mathrm{RHS}\)। (প্রমাণিত)
(iii)
ধরি স্থির জলে নৌকার গতিবেগ \(x\) এবং স্রোতের গতিবেগ \(y\) (মাইল/ঘণ্টা)।
\[\begin{aligned}x+y&=\tfrac{30}{6}=5&&\ldots(1)\\x-y&=\tfrac{30}{10}=3&&\ldots(2)\end{aligned}\]
যোগ করে: \(2x=8\), তাই \(x=4\); (1) থেকে \(y=1\)।
নৌকার গতিবেগ 4 মাইল/ঘণ্টা, স্রোতের গতিবেগ 1 মাইল/ঘণ্টা