দ্বিঘাত সমীকরণ (Part -2)

Quadratic Equations | S N De Maths Solutions

 

 $\,11.\,\, 9x^2-6x+1\,\,$ রাশির অবম মান হবে- 

$\,(A)\,\,0 \,\,(B)\,\,1\,\,(C)\,\,2\,\,(D)\,\,3.$

Sol. $\,\, 9x^2-6x+1\\=(3x)^2-2\times 3x\times 1+1^2\\=(3x-1)^2 \geq0$

$\,\therefore\,\, (A)\rightarrow\,\,$ correct.

$\,12.\,\,4x-x^2-2\,\,$ রাশির চরম মান হবে-

$\,(A)\,\, 0\,(B)\,\,1\,(C)\,\,2\,(D)\,\,3.$

Sol. $\,\,4x-x^2-2\\=-(x^2-4x+2)\\=-[x^2-2\times x\times 2+2^2-2]\\=-(x-2)^2+2 \rightarrow(1)$

এখন, $\,\,(x-2)^2 \geq 0 ~~~~~\forall x\in \mathbb R \\ \Rightarrow -(x-2)^2 \leq 0 \\ \Rightarrow -(x-2)^2+2 \leq 2 \rightarrow(2)$

সুতরাং, $\,(1)\,\,$ ও $\,(2)\,\,$ থেকে বলা যায়, $\,(C)\,$ option টি সঠিক। 

$\,13.\,\,x^2+ax-12=0\,$ সমীকরণের একটি বীজ $\,4\,$ হলে, নিচের কে সমীকরণটির অন্য বীজ হবে ?

$\,(A)\,\,a-4\, (B)\,\,-2\,(C)\,\,3\,(D)\,\,-3.$

Sol. $\,\because \,\,x^2+ax-12=0\,$ সমীকরণের একটি বীজ $\,4\,$, 

$\,\,4^2+4a-12=0 \\ \Rightarrow 4a+4=0 \\ \Rightarrow 4(a+1)=0 \\ \Rightarrow a+1=0 \\ \Rightarrow a=-1.$

সুতরাং, সমীকরণ টি  হল, $\,\,x^2-x-12=0 \\ \Rightarrow x^2-4x+3x-12=0 \\ \Rightarrow x(x-4)+3(x-4)=0 \\ \Rightarrow (x-4)(x+3)=0 \\ \Rightarrow x=4,-3.$

$\,\,\therefore \,\, (D)\rightarrow $ correct. 

$\,14.\,\,3x^2-5x+7=0\,$ সমীকরণের বীজ দুটির যোগফল নীচের কোন মানটির সমান বলো?

$\,(A)\,\,5\, (B)\,\,-\frac 53\,(C)\,\,-5\,(D)\,\,\frac 53.$

Sol.  $\,\,\, ax^2 + bx+ c = 0\,\,$ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় $\,\alpha,\,\beta \,$ হলে 

 $\,\,\alpha+\beta=$ বীজদ্বয়ের যোগফল $=-\frac ba\,\,$ ও 

$\alpha \cdot \beta=$ বীজদ্বয়ের গুণফল $=\frac ca.$

সুতরাং, $\,\,\,3x^2-5x+7=0\,$ সমীকরণের বীজ দুটির যোগফল 

$=-\frac{(-5)}{3}=\frac 53 \rightarrow (D)\,$ correct.

$\,15.\,\,$ নীচের কোন্ মানটি $\,2x^2 - 3x + 7 = 0\,\,$ সমীকরণের বীজ দুটি গুণফলের সমান ?

$\,(A)\,\, \frac 32\,(B)\,\,\frac 72\,(C)\,\,-\frac 72(D)\,\,7.$

Sol. $\,2x^2 - 3x + 7 = 0\,\,$ সমীকরণের বীজ দুটি গুণফল 

$=\frac{7}{2} \rightarrow(B)\,$ correct.

Note : $\,\,\, ax^2 + bx+ c = 0\,\,$ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় $\,\alpha,\,\beta \,$ হলে 

 $\,\,\alpha+\beta=$ বীজদ্বয়ের যোগফল $=-\frac ba\,\,$ ও 

$\alpha \cdot \beta=$ বীজদ্বয়ের গুণফল $=\frac ca.$

$\,16.\,\,2\,\,$  ও $\,(−3)\,$ নীচের কোন্ সমীকরণের দুটি বীজ বলো ?

$\,(A)\,\,x^2-x-6=0\,\, (B)\,\,x^2+x-6=0 \\(C)\,\,x^2-x+6=0\,\,(D)\,\,x^2-5x-5=0$

Sol. $\,\,$ একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় $\,\alpha,\,\beta\,\,$ হলে দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে 

$\,x^2-$(বীজদ্বয়ের যোগফল)$\,x+\,$ বীজদ্বয়ের গুণফল $=0 .$

$\Rightarrow x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0 \\ \Rightarrow x^2-(2-3)x+2 \times (-3)=0 \\ \Rightarrow x^2+x-6=0 \rightarrow(B)\,\text{correct.}$

$\,17.\,\,5x^2-7x-k=0\,\,$ সমীকরণের বীজ দুটি পরস্পর অন্যোন্যক নীচের কোনটি $\,k\,$-এর মান হবে ?

$\,(A)\,\, -5\,(B)\,\,-\frac 15\,(C)\,\,5\,(D)\,\,\frac 15.$

Sol. $\,\,\,\, 5x^2-7x-k=0\,\,$ সমীকরণের বীজ দুটি পরস্পর অন্যোন্যক হলে  ধরি,  বীজ দুটি  $\,(\alpha,\frac{1}{\alpha})\,$ . 

$\alpha \cdot \frac{1}{\alpha}=$ বীজদ্বয়ের গুণফল $=\frac{-k}{5} $

$\,\therefore \,1=-k/5 \\ \Rightarrow k=-5\rightarrow(A)\,\text{ correct.}$

$\,18.\,\,2x^2+ax+6=0\,\,$ সমীকরণের বীজ দুটির যোগফল $\,5\,$ হলে নিচের কোনটি $\,a\,$ -এর মান হবে ? 

$\,(A)\,\, -10\,(B)\,\,10\,(C)\,\,\frac 52\,\,(D)\,\,-\frac 52$

Sol. $\,2x^2+ax+6=0\,\,$ সমীকরণের বীজ দুটির $[\,\alpha,\beta ~~]$ যোগফল $\,5\,$ হলে, 

$\,\alpha+\beta=5 \\ \Rightarrow -\frac a2=5 \\ \Rightarrow a=-10 \rightarrow(A)\,\text{correct}$

$\,19.\,~~2x^2-7x+b=0\,\,$ সমীকরণের বীজ দুটির গুণফল $\,(-3)\,$ হলে নিচের কোনটি $\,b\,$ মান হবে ?

$\,(A)\,\,-\frac 32 (B)\,\,\frac 32\,(C)\,\,-6\,(D)\,\,6$

Sol. $2x^2-7x+b=0\,\,$ সমীকরণের বীজ দুটির $\,[~~\alpha,\beta~~]\,$ গুণফল $\,(-3)\,$ হলে ,

$\,\alpha \cdot \beta =-3 \\ \Rightarrow \frac b2=-3 \\ \Rightarrow b=-6 \rightarrow(C)\,\text{correct}$

$\,20.\,\, 3x^2-5x+p=0\,\,\,$সমীকরণের বীজ দুটি সমান হলে নিচের কোনটি $\,p\,$ এর মান হবে? 

$\,(A)\,\, \frac{25}{6}\,(B)\,\,\frac{25}{12}\,(C)\,\,-\frac{25}{6}\,(D)\,\,-\frac{25}{12}$

Sol. $3x^2-5x+p=0\,\,\,$ সমীকরণের বীজ দুটি$\,[~~\alpha,\beta~~]\,$  সমান হলে, 

$\,\alpha+\beta=-\frac{(-5)}{3} \\ \Rightarrow 2\alpha=\frac 53~~~[\because \alpha=\beta] \\ \Rightarrow \alpha=\frac{5}{6} \\ \Rightarrow \alpha^2=\frac{25}{36} \\ \Rightarrow  \alpha \times \alpha=\frac{25}{36} \\ \Rightarrow \frac p3=\frac{25}{36} \\ \Rightarrow  p=\frac{25}{12} \rightarrow (B)\,\text{correct}$