দ্বিঘাত সমীকরণ (Part-1)

QUADRATIC EQUATIONS |  CLASS-11 | EX-5A |  S N De Maths Solutions 

প্রয়োজনীয় সূত্রাবলি একনজরে [Necessary Formulae at a Glance] : 

সাধারণ আকারের দ্বিঘাত সমীকরণ হয়:

$\,ax^2+bx+c=0,\,\,$ যেখানে $\,a(\neq 0)\,$  ও $\,b\,$ যথাক্রমে $\,x^2\,$ ও $\,x\,$-এর সহগ এবং $\,c\,$ ধ্রুবক পদ। 

ভাগশেষ উপপাদ্য :

$1.\,\,ax^2 + bx + c = 0\,$ দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ $\,\alpha \,$ হলে $\,(x-\alpha)\,$ হবে $\,(ax^2+bx+c)\,\,$ রাশিমালাটির একটি উৎপাদক। বিপরীতক্রমে,  $\,(x-\alpha),\,\,\, ax^2 + bx + c\,\,$ দ্বিঘাত রাশিমালাটির একটি উৎপাদক হলে $\,a\alpha^2 + b\alpha + c = 0\,\,$ হবে।

$\,2.\,\,$ প্রত্যেক দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি এবং কেবলমাত্র দুটি বীজ থাকে। 

$\,3.\,\, ax^2 + bx+ c = 0\,\,$ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় $\,\alpha,\,\beta \,$ হলে 

$\,\alpha=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} ; \\ \beta=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$

এবং $\,\,\alpha+\beta=$ বীজদ্বয়ের যোগফল $=-\frac ba\,\,$ ও 

$\alpha \cdot \beta=$ বীজদ্বয়ের গুণফল $=\frac ca.$

$\,4.\,\,(i)\, ax^2+bx+c=0\,(a \neq 0, a,b,c-$ বাস্তব ) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ $\,(\alpha+i\beta)\,$ হলে, অপর বীজ হবে $\,(\alpha-i\beta).$

 $\,~~\,\,(ii)\, ax^2+bx+c=0\,(a \neq 0, a,b,c-$ বাস্তব ) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ $\,(\alpha+\sqrt{\beta})\,$ হলে, অপর বীজ হবে $\,(\alpha-\sqrt{\beta}).$

$\,5.\,$ একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় $\,\alpha,\,\beta\,\,$ হলে দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে 

$\,x^2-$(বীজদ্বয়ের যোগফল)$\,x+\,$ বীজদ্বয়ের গুণফল $=0 .$

$\Rightarrow x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0.$

$\,6.\,\,ax^2+bx+c=0\,$ একটি দ্বিঘাত সমীকরণ হলে $\,(b^2-4ac)\,$ রাশিমালাটিকে এর নিরূপক বলে। 

$\,a,b,c\,\,$ বাস্তব ও  মূলদ হলে,

$\,(i)\,\,b^2-4ac>0,\,$ কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে বীজদ্বয় বাস্তব, অমূলদ ও অসমান হবে। 

$\,(ii)\,\,b^2-4ac>0,\,$ ও পূর্ণবর্গ  হলে বীজদ্বয় বাস্তব, মূলদ ও অসমান হবে। 

$\,(iii)\,\,b^2-4ac=0,\,$ হলে বীজদ্বয় বাস্তব, মূলদ ও সমান হবে।

$\,(iv)\,\,b^2-4ac <0,\,$ হলে বীজদ্বয় কাল্পনিক ও অসমান হবে। 

আবার $\,b^2-4ac> 0\,\,$ ও পূর্ণবর্গ হলে ও $\,a\,$ অথবা $\,b\,$-এর কোনো একটির মান অমূলদ হলে বীজদ্বয় অমূলদ হবে।

$\,1.\,\,ax^2+bx+c=0\,\,(a \neq 0)\,\,$ সমীকরণের একটি বীজ শূন্য হবে যখন 

$-(A)\,a=0\,\, (B)\, b=0\,(C)\,c=0\,(D)\,x=0.$

Sol. $\,\,ax^2+bx+c=0\,\,(a \neq 0)\rightarrow(1)\,\,$ সমীকরণের একটি বীজ শূন্য, $\,x=0,\,(1)\,$ নং  সমীকরণে বসিয়ে পাই, 

$\,\,a \times 0^2+b \times 0+c=0 \\  \Rightarrow c=0 \rightarrow (C)\text{(correct)} $

$\,2.\,\,\,ax^2+bx+c=0\,\,$ সমীকরণের বীজ দুটি পরস্পর  অন্যোন্যক হবে যখন-

$\,(A)\,a=c\,\,(B)\,a=b\,\, (C)\,b=c\,\,(D)\,a=0.$

Sol. ধরি, $\,ax^2+bx+c=0\,\,$ সমীকরণের বীজ দুটি $\,\,y,\,\frac 1y.$

$\,\,\therefore\,\, y \times \frac 1y=\frac ca \\ \Rightarrow 1=\frac ca \\ \Rightarrow a=c\rightarrow (A)\text{(correct.)}$

$\,3.\,\,$ যখন $\,b\,$ এর চিহ্ন $\,a\,$ ও $\,c\,$ এর বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট, তখন $\,ax^2+bx+c=0\,\,$ সমীকরণের উভয় বীজ - $\,(A)\,$ শূন্য  $\,(B)\,$ ধনাত্মক $\,(C)\,$ ঋণাত্মক $\,(D)\,$ ভগ্নাংশ। 

Sol. Case-$\,1.$

ধরি, $\,\,a=1(>0),\,c=6(>0),\, b=-5(<0)$.

$\,ax^2+bx+c=0\\ \Rightarrow x^2-5x+6=0 \\ \Rightarrow x^2-3x-2x+6=0 \\ \Rightarrow x(x-3)-2(x-3)=0\\ \Rightarrow (x-3)(x-2)=0 \\ \Rightarrow x=3,2 (>0) \rightarrow (B)\,\text{correct}$

Case-$\,2.$

ধরি, $\,\,a=-1(<0),\,c=-6(<0),\, b=5(>0)$.

$\,ax^2+bx+c=0\\ \Rightarrow -x^2+5x-6=0 \\ \Rightarrow -(x^2-5x+6)=0 \\ \Rightarrow x^2-5x+6=0\\ \Rightarrow x^2-3x-2x+6=0 \\ \Rightarrow x(x-3)-2(x-3)=0\\ \Rightarrow (x-3)(x-2)=0 \\ \Rightarrow x=3,2 (>0) \rightarrow (B)\,\text{correct}$

$\,4.\,\,ax^2+bx+c=0\,(a \neq 0)\,\,$ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ দুটির মান  সমান ও পরস্পর বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট হবে যখন- 

$\,(A)\,a=0\, (B)\,b=0\,(C)\,c=0\,(D)\,\,a=c.$

Sol. ধরি, $\,\,ax^2+bx+c=0\,(a \neq 0)\,\,$ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ দুটির মান $\,y,\,(-y).$

$\,\therefore \,\, y+(-y)=-\frac ba \\ \Rightarrow 0=-\frac ba \\ \Rightarrow b=0\, \rightarrow(B)$

$\,5.\,\,b=c=0,\,~\,ax^2+bx+c=0\,(a \neq 0)\,\,$ দ্বিঘাত সমীকরণের উভয় বীজই -

 $\,(A)\,$ শূন্য  $\,(B)\,$ ধনাত্মক $\,(C)\,$ ঋণাত্মক $\,(D)\,$ কাল্পনিক

Sol. $~~~~~ax^2+bx+c=0\,(a \neq 0)\\ \Rightarrow ax^2+0 \times x+0=0 \\ \Rightarrow ax^2=0 \\ \Rightarrow x^2=0 \,\,[\because a\neq 0] \\ \Rightarrow x=0,0 \rightarrow(A)$

$\,6.\,$ কোনো দ্বিঘাত সমীকরণে বীজ সংখ্যা—

$\,(A)\,\,$ একটি $\,(B)\,$ দুটি $\,\,(C)\,$ তিনটি $\,(D)\,$ অসংখ্য

Sol. $\,(B)\, \rightarrow $ correct.

$\,7.\,\, a = 0\,\,$ এবং $\,b\,\, ( \neq 0)\,$ ও $\,c\,$-এর মান বাস্তব ও মূলদ হলে, $\,ax^2 + bx + c = 0\,$ সমীকরণের একটি বীজ বাস্তব ও মূলদ এবং অন্য বীজটি—

 $\,(A)\,$ শূন্য  $\,(B)\,$ বাস্তব ও মূলদ  $\,(C)\,$ কাল্পনিক $\,(D)\,$ অনির্ণেয়

Sol. $\,\,a=0,\,\,ax^2+bx+c=0\,\,-$ এই সমীকরণে বসালে পাই, $\,bx+c=0\,\,$ যেটি দ্বিঘাত সমীকরণ নয়। 

ধরি , $\,\,x=\frac 1y\,(y \neq 0)\,$.

$\,\therefore \,\, ax^2+bx+c=0 \\ \Rightarrow a(1/y)^2+b/y+c=0 \\ \Rightarrow cy^2+by+a=0 \\ \Rightarrow cy^2+by=0\,\,[\because a=0] \\ \Rightarrow y(cy+b)=0 \\ \Rightarrow y=0, \\ ~~cy+b=0 \\ \Rightarrow y=-b/c.$

যখন, $\,y=-b/c \Rightarrow x=-c/b$

যখন, $\,y=0 \Rightarrow x=1/y=1/0\,\,$ যা অনির্ণেয় $\rightarrow(D)$

$\,8.\,\, a = 0\,\,$ এবং $\,b=0\,$  হলে, $\,ax^2 + bx + c = 0\,$ সমীকরণের উভয় বীজই —

 $\,(A)\,$ শূন্য  $\,(B)\,$ বাস্তব ও মূলদ  $\,(C)\,$ কাল্পনিক $\,(D)\,$ অনির্ণেয়

Sol. $\,\,a=0,\,b=0,~~\,ax^2+bx+c=0\,\,-$ এই সমীকরণে বসালে পাই,

 $\,c=0\,\,$ যেটি দ্বিঘাত সমীকরণ নয়। 

ধরি , $\,\,x=\frac 1y\,(y \neq 0)\,$.

$\,\therefore \,\, ax^2+bx+c=0 \\ \Rightarrow a(1/y)^2+b/y+c=0 \\ \Rightarrow cy^2+by+a=0 \\ \Rightarrow cy^2=0\,\,[\because a=b=0] \\ \Rightarrow y^2=0 \,[\because c \neq 0]\\ \Rightarrow y=0,0.$

যখন, $\,y=0,0 \Rightarrow x=1/y=1/0,\,1/0\,\,$ যা অনির্ণেয় $\rightarrow(D)$

$\,9.\,\,ax^2+bx+c=0\,\,$ সমীকরণের বীজ দুটি সমান হবে যখন -

$\,(A)\, b^2-4ac<0\,\, (B)\,b^2-4ac >0\,(C)\,b^2-4ac \geq 0\\ (D)\,\,b^2-4ac=0$

Sol. $\,(D)\, \rightarrow $ correct.

$\,\,10.\,\,a,b,c\,\,$  মূলদ ও $\,(b^2-4ac)\,-$ ধনাত্মক পূর্ণবর্গ না হলে, $\,ax^2+bx+c=0\,\,$ সমীকরণের বীজ দুটি - 

$\,(A)\,$ বাস্তব  $\,(B)\,$  মূলদ  $\,(C)\,$ অমূলদ  $\,(D)\,$ কাল্পনিক

Sol. $\,(C)\, \rightarrow $ correct. 

Note : $\,a,b,c\,\,$ বাস্তব ও  মূলদ হলে,

$\,(i)\,\,b^2-4ac>0,\,$ কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে বীজদ্বয় বাস্তব, অমূলদ ও অসমান হবে।