Combination | সমবায় | Part-1

 Combination | সমবায় | S N De Maths Solution | Ex-7B

1. (i) $\,{}^nC_{n-2}=21 \\ \Rightarrow \frac{n!}{(n-2)! \times (n- n+2)!}=21 \\ \Rightarrow \frac{n(n-1)(n-2)!}{2! \times (n-2)!} =21 \\ \Rightarrow \frac{n(n-1)}{2}=21 \\ \Rightarrow  n^2-n-42=0 \\ \Rightarrow (n-7)(n+6)=0 \\\Rightarrow (n-7)=0 \qquad [n+6 \neq 0, n\in \mathbb{N}] \\ \Rightarrow  n=7$

(ii) $\,\,{}^nC_{n-4}=70 \qquad \qquad \text {Hints:}\,\, 1(i)\,\,$ অনুসরণ কর। 

(iii) ${}^{2n}C_4: {}^{n}C_{3}=35 :2 \\ \Rightarrow 2 \times {}^{2n}C_{4}=35 \times {}^{n}C_{3} \\ \Rightarrow  2 \times \frac{(2n)!}{(2n-4)!.4!}=35 \times \frac{n!}{(n-3)!.3!}  \\ \Rightarrow 2 \times \frac{2n(2n-1)(2n-2)(2n-3)}{4 \cdot 3\cdot 2\cdot1}=35 \times \frac{n(n-1)(n-2)}{3 \cdot 2 \cdot 1} \\ \Rightarrow n(2n-1) \cdot 2(n-1)(2n-3)=35 \cdot n(n-1)(n-2) \\ \Rightarrow 2(4n^2-6n-2n+3)=35(n-2) \\ \Rightarrow 8n^2-16n+6=35n-70 \\ \Rightarrow 8n^2-51n+76=0 \\ \Rightarrow  8n^2-51n+76=0 \\ \Rightarrow  (n-4)(8n-19)=0 \\\Rightarrow n=4 \qquad  [8n-19 \neq 0]$

(iv) $\,\, {}^{n}C_{5}={}^{n}C_{9} \\ \Rightarrow n=5+9\\ \Rightarrow n=14$

 [সূত্রঃ আমরা জানি ,${}^{n}C_{p}={}^{n}C_{q}$ যদি হয়, তবে$\,p=q\,$ অথবা $\,\,n=p+q$]

(v)$\,\,{}^{20}C_{3n}={}^{20}C_{2n+5}\\ \Rightarrow 3n=2n+5\,\, \text{or}\,\, 3n+(2n+5)=20 \\ \Rightarrow 3n-2n=5 \,\, \text{or} \,\,\,5n=20-5 \\ \Rightarrow n=5 \,\, \text{or}\,\, n=\frac{15}{5}=3 $

[ সূত্রঃ আমরা জানি ,${}^{n}C_{p}={}^{n}C_{q}$ যদি হয়, তবে $\,\,\,p=q\,\,\,$ অথবা $\,\,n=p+q$]

$\,3.\,\,$ দেখাও যে ,  $\,\,{}^{n}C_{7}={}^{n}C_{11} \Rightarrow {}^{21}C_{n}=1330$

Sol.  $\,\,{}^{n}C_{7}={}^{n}C_{11} \Rightarrow n=7+11=18.$

সুতরাং, $\,\, {}^{21}C_{n}\\ ={}^{21}C_{18}\\=\frac{21!}{18!\times (21-18)!}\\ =\frac{21.20.19.18!}{18! \times 3!}\\=1330$

$4.\,$ $\,\, {}^{n}P_{r}=120 \times {}^{n}C_{n-r} \,\,$ হলে , $\,r\,\,$এর মান কত? 

Sol. $\,\, {}^{n}P_{r}=120 \times {}^{n}C_{n-r} \\ \Rightarrow r! \times {}^{n}C_{r} = 120 \times {}^{n}C_{n-r} \\ \Rightarrow r!=120 \qquad [ \because {}^{n}C_{r}={}^{n}C_{n-r}]\\ \Rightarrow r!=5! \\ \Rightarrow r=5 \,\,\text{(ans.)}$

$5(i).~~\,\,{}^{2n}C_{r}={}^{2n}C_{r+2}\,\,$ হলে, $\,\,r=?\,$

Sol. $\,\,{}^{2n}C_{r}={}^{2n}C_{r+2} \\ \Rightarrow r+(r+2)=2n \\ \Rightarrow 2(r+1)=2n \\ \Rightarrow r=n-1$

 $5(ii)~~\,\,{}^{n}C_{4}= 21 \times {}^{\frac n2}C_{3}\,\,$ হলে $\,\, n=?$

Sol.

$\,\,{}^{n}C_{4}= 21 \times {}^{\frac n2}C_{3} \\ \Rightarrow \frac{n!}{(n-4)!4!}= 21 \times \frac{(\frac n2)!}{(\frac n2-3)!3!}\\ \Rightarrow \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)!}{(n-4)! \cdot 4 \cdot 3!}=21 \times \frac{(n/2)(n/2-1)(n/2-2)(n/2-3)!}{(n/2-3)!\cdot 3!} \\ \Rightarrow \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4}=21 \times \frac{(n/2)(n/2-1)(n/2-2)}{1} \\ \Rightarrow n(n-1)(n-2)(n-3)=21 \times 4 \times \frac 18 n(n-2)(n-4) \\ \Rightarrow 2(n-1)(n-3)=21(n-4) \\ \Rightarrow  2(n^2-4n+3)=21n-84\\ \Rightarrow 2n^2-29n +90=0 \\ \Rightarrow (n-10)(2n-9)=0 \\ \Rightarrow n=10  \quad [2n-9 \neq 0 , n \in \mathbb N ]$

 $ 6.~~~~\,n\,\,$সংখ্যক বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা নির্ণয় করো।

Sol. আমরা জানি,  $\,n\,\,$সংখ্যক বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা 

$={}^{n}C_{2}-n \\ = \frac{n!}{(n-2)! \times 2!}-n \\ = \frac{n(n-1)}{2}-n \\ = \frac{n^2-n-2n}{2}\\ = \frac{n(n-3)}{2}$ 

$\,7.\,$ শূন্যে $\,n\,$-সংখ্যক বিন্দু আছে যাদের কোন তিনটি বিন্দুই একরেখীয় নয়। যদি বিন্দুগুলি যোগ করার পর উৎপন্ন সরলরেখা ও ত্রিভুজের সংখ্যা সমান হয় তবে এর মান নির্ণয় করো। 

 Sol. প্রশ্ন অনুযায়ী,  $\,\,{}^{n}C_{2}={}^{n}C_{3} \\ \Rightarrow n=2+3=5$ 

 $8.~~~~\,9\,$ জন স্বরাজ্যপন্থী ও $\,5\,$ জন মন্ত্রিত্ব পন্থী ব্যক্তি আছেন। তাদের মধ্য থেকে $\,6\,$ জন স্বরাজ্যপন্থী ও $\,2\,$ জন মন্ত্রিত্ব পন্থী থাকবে এমন কতগুলি কমিটি গঠন করা যায়?

 Sol.  $\,9\,$ জন স্বরাজ্য পন্থী থেকে $\,6\,$ জন স্বরাজ্যপন্থী নির্বাচন করা যায় $={}^{9}C_6\,$ প্রকারে। 

আবার $\,5\,$ জন মন্ত্রিত্বপন্থী ব্যক্তি থেকে $\,2\,$ জন মন্ত্রিত্বপন্থী ব্যক্তি নির্বাচন করা যায় $={}^{5}C_2\,$ প্রকারে।  সুতরাং মোট কমিটির নির্বাচন সংখ্যা 

$={}^{9}C_6 \times {}^{5}C_2 \\= \frac{9!}{3! \times 6!} \times \frac{5!}{3! \times 2!} \\ =840. $

$9.\,$ একটি $\,10\,$ জন সরকারি ও $\,15\,$  জন বেসরকারি প্রতিনিধি সভায় $\,3\,$ জন সরকারি ও  $\,5\,$ বেসরকারি প্রতিনিধি সম্বলিত একটি উপসমিতি নির্বাচনের সিদ্ধান্ত নেওয়া হয়।  কত বিভিন্ন উপায়ে উপসমিতির সভা নির্বাচন করা যায়? 

 Sol. একটি $\,10\,$ জন সরকারি প্রতিনিধি থেকে $\,3\,$ জন সরকারি প্রতিনিধি নির্বাচন করা যায় $={}^{10}C_3$ প্রকারে।  এবার, একটি $\,15\,$ জন বেসরকারি প্রতিনিধি থেকে $\,5\,$ জন সরকারি প্রতিনিধি নির্বাচন করা যায় $={}^{15}C_5$  প্রকারে। 

সুতরাং, $\, {}^{10}C_3 \times {}^{15}C_5=120 \times 3003=360360\,\,$ বিভিন্ন উপায়ে উপসমিতির সভা নির্বাচন করা যায়। 

$10.\,$ দশটি আম থেকে তিনটি করে নিয়ে কতগুলি বিভিন্ন নির্বাচন করা যায় যাতে প্রতি নির্বাচনে একটি নির্দিষ্ট আম সর্বদা থাকে?\par

Sol.  প্রতি নির্বাচনে একটি নির্দিষ্ট আম রাখতে গেলে বাকি $\,10-1=9\,$টি থেকে $\,3-1=2\,$টি করে নিয়ে $\,{}^{9}C_2=\frac{9!}{(9-2)!\times 2!}=36\,$ প্রকারে নির্বাচন করা সম্ভব। 

$11.\,\,$ এক ব্যক্তির 6 জন বন্ধু আছে । কত উপায়ে সে তার এক বা একাধিক জনকে আমন্ত্রণ করতে পারে? 

Sol. ওই ব্যক্তির $\,6\,$ জন বন্ধুর মধ্যে সে $\,1\,$ জনকে আমন্ত্রণ করতে পারে $={}^{6}C_1$ প্রকারে, 6 জন বন্ধুর মধ্যে সে $\,2\,$জনকে আমন্ত্রণ করতে পারে $={}^{6}C_2,2$ প্রকারে, $\,6\,$ জন বন্ধুর মধ্যে সে $\,3\,$ জনকে আমন্ত্রণ করতে পারে $={}^{6}C_3$ প্রকারে, ‌$\,6\,$ জন বন্ধুর মধ্যে সে $\,4\,$জনকে আমন্ত্রণ করতে পারে $={}^{6}C_4\,$ প্রকারে,$\,6\,$ জন বন্ধুর মধ্যে সে $\,5\,$জনকে আমন্ত্রণ করতে পারে $={}^{6}C_5\,$ প্রকারে, ‌6 জন বন্ধুর মধ্যে সে $\,6\,$জনকে আমন্ত্রণ করতে পারে $={}^{6}C_6\,$ প্রকারে । 

সুতরাং, এক্ষেত্রে মোট নির্বাচন সংখ্যা 

$\\={}^{6}C_1+{}^{6}C_2+{}^{6}C_3+{}^{6}C_4+{}^{6}C_5+{}^{6}C_6 \\ =6+15+20+15+6+1\\=63$

$12.\,\,$ এক ব্যক্তির কাছে একটি $\,10\,$  টাকার ,একটি পাঁচ টাকার, একটি দুই টাকার এবং একটি এক টাকার নোট আছে।  সে কত রকমের কোন দরিদ্র ভান্ডারে দান করতে পারে?

Sol. স্পষ্টতই ব্যক্তির কাছে চার ধরনের নোট আছে। সে চার ধরনের নোট থেকে $\,1\,$ টি নোট,$\,2\,$ টি নোট , $\,3\,$ টি নোট বা $\,4\,$ টি নোট দান করতে পারে।     

এখন, এখন চারটি নোটের থেকে একটি নোট দান করা যায় $={}^{4}C_1\,$ প্রকারে,  $\,2\,$ টি একটি নোট দান করা যায় $={}^{4}C_2\,$ প্রকারে,$\,3\,$টি একটি নোট দান করা যায় $={}^{4}C_3\,$ প্রকারে, $\,4\,$ টি একটি নোট দান করা যায় $={}^{4}C_4\,$ প্রকারে।

সুতরাং, এক্ষেত্রে মোট নির্বাচন সংখ্যা 

$={}^{4}C_1+{}^{4}C_2+{}^{4}C_3+{}^{4}C_4 \\=4+6+4+1\\=15$