Combination | সমবায় | Part-6

Combination | সমবায় | S N De Maths Solution | Part-6 

$\,22.\,$ আটটি প্রশ্ন প্রদত্ত এবং প্রত্যেকটি প্রশ্নের একটি করে বিকল্প প্রশ্ন আছে। প্রমাণ করো যে, এক বা একাধিক প্রশ্ন কোনো ছাত্র $\,(3^8–1)\,$ উপায়ে নির্বাচন করতে পারে।

Sol. ধরা যাক,  আটটি প্রশ্ন প্রদত্ত এবং প্রত্যেকটি প্রশ্নের একটি করে বিকল্প প্রশ্নের সেট $\,\,A_1,A_2,A_3,\cdots,A_8\,$ দ্বারা সূচিত করা হল। 

প্রতিটি সেটে $\,2\,$ টি করে পদ আছে। এখন, $\,A_1\,$ সেট থেকে পদ নির্বাচন করা যায় $\,3\,$ রকমে (হয় $\,1\,$ টি, বা $\,2\,$ টি বা একটিও নয়)। 

সুতরাং, যদি কমপক্ষে একটি প্রশ্নের উত্তর দেওয়া হয়, তাহলে মোট নির্বাচন সংখ্যা 

$=3 \times 3 \times 3 \cdots $ ($\,8\,$ টি পদ) $-1 =3^8-1.$

$\,23.\,$  প্রমাণ করো যে, $\text{'daddy did a deadly deed'}$-এ যেসব অক্ষর আছে তাদের মোট নির্বাচন সংখ্যা হয় $\,\,1919.$

Sol. $\text{'daddy did a deadly deed'}$-এ $\,9\,$ টি $\,d\,$ , $\,3\,$ টি $\,a\,$ ,$\,2\,$ টি $\,y\,$,   $\,3\,$ টি $\,e\,$, $\,1\,$ টি $\,l\,$ আছে। 

সুতরাং,  মোট অক্ষর  নির্বাচন সংখ্যা হয় 

$=(9+1)(3+1)(2+1) \\ ~~~~~\times (1+1)(3+1)(1+1)-1\\=1919\,\,\text{(ans.)}$

$\,24.\, 10\,\,$ টি $\,10\,$ পয়সা এবং $\,5\,$ টি $\,5\,$ পয়সাকে কত রকমে এক লাইনে সাজানো যায়, যাতে $\,2\,$ টি $\,5\,$ পয়সা পাশাপাশি না থাকে।

Sol. যেহেতু $\,2\,$ টি $\,5\,$ পয়সা পাশাপাশি থাকবে না, তাই $\,5\,$পয়সাগুলি ($\,5\,$টি $\,5\,$ পয়সা) বসাতে হবে $\,10\,$ পয়সাগুলির ($\,10\,$ টি $\,10\,$ পয়সা) মধ্যবর্তী $\,9\,$ টি স্থানে এবং দুইপ্রান্তে অর্থাৎ $\,(9+ 2) = 11\,\,$ টি স্থানে।

$\,\therefore \,\,10~~$ পয়সাগুলিকে ($\,10\,$টি $\,10\,$পয়সা) $\,10\,$টি স্থানে বসানো যায় $\,{}^{10}C_{10}\,\,$ রকমে (যেহেতু প্রতিটি $\,10\,$ পয়সা একই রকম) এবং $\,5\,$ পয়সাগুলিকে ($\,5\,$ টি $\,5\,$ পয়সা) $\,11\,$টি স্থানে বসানো যায় ${}^{11}C_{5}\,\,$ রকমে (যেহেতু প্রতিটি $\,5\,$ পয়সা একই রকম)। 

$\,\therefore\,$ মোট সাজানোর সংখ্যা $=\,{}^{10}C_{10} \times {}^{11}C_5=462.$

$\,25.\,\, 10\,\,$ জন বালক এবং $\,6\,$ জন বালিকার মধ্য থেকে অন্তত $\,1\,$ জন বালক ও অন্তত $\,1\,$ জন বালিকা কত রকমে নির্বাচন করা যায়?

Sol. $\,10\,\,$ জন বালকের মধ্যে থেকে অন্তত $\,1\,$ জন বালক নির্বাচন করা যায় $\,(2^{10} – 1 )\,$রকমে  এবং 6 জন বালিকার মধ্যে থেকে অন্তত $\,1\,$ জন বালিকা নির্বাচন করা যায় $\,(2^6–1)\,$ রকমে।

সুতরাং, $\,10\,\,$ জন বালক এবং $\,6\,\,$ জন বালকের মধ্যে থেকে অন্তত  $\,1\,$ জন বালক এবং অন্তত  $\,1\,$ জন বালিকা নির্বাচন করা যায় $=\,(2^{10} – 1 )(2^6–1)=64449\,$ রকমে।

$\,26.~~\, 10\, $ টি ফুটবল ম্যাচের ফলাফলের (জয়,পরাজয় অথবা অমীমাংসিতভাবে শেষ) ভবিষ্যদ্বাণী করতে হবে। কতগুলি বিভিন্ন পূর্বাভাসে ঠিক ছটি সঠিক ফল থাকবে?

Sol. $\,10\,$ টি ম্যাচের মধ্যে যে $\,6\,$ টির ভবিষ্যদ্বাণী সঠিক হবে তাদের নির্বাচন করা যায় $\,{}^{10}C_6\,\,$ রকমে।  এই $\,6\,$ টির ভবিষ্যদ্বাণী হবে $\,1\,$ রকমে। অবশিষ্ট $\,4\,$ টির ভবিষ্যদ্বাণী হবে $\,2\,$ রকমে (যেহেতু ভুল ভবিষ্যদ্বাণী হবে)।

সুতরাং, ঠিক $\,6\,$ টি সঠিক ফল থাকবে এমন পূর্বাভাসের সংখ্যা

$={}^{10}C_6 \times 1\times 1 \times1 \times 1\times 1\times 1 \\~~~~~~~~~~\times2 \times 2\times 2\times 2\\=3360\,\text{(ans.)}$

$\,27.\, 2n\,$ সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে একযোগে যতগুলি ইচ্ছা নিয়ে নির্বাচন সংখ্যা এবং $\,n\,$ সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে একযোগে যতগুলি ইচ্ছা নিয়ে নির্বাচন সংখ্যার অনুপাত $\,1025 : 1\,$, হলে $\,n\,$-এর মান নির্ণয় করো।

Sol.  $~~2n\,$ সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে একযোগে যতগুলি ইচ্ছা নিয়ে নির্বাচন সংখ্যা

$={}^{2n}C_1+{}^{2n}C_2+{}^{2n}C_3+\cdots +{}^{2n}C_{2n}\\=2^{2n}-1$ 

আবার,  $~~n\,$ সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে একযোগে যতগুলি ইচ্ছা নিয়ে নির্বাচন সংখ্যা

$={}^{n}C_1+{}^{n}C_2+{}^{n}C_3+\cdots +{}^{n}C_{n}\\=2^{n}-1$ 

সুতরাং, $\,(2^{2n}-1):(2^{2n}-1)=1025 : 1\\ \Rightarrow \frac{2^{2n}-1}{2^n-1}=\frac{1025}{1} \\ \Rightarrow \frac{(2^n+1)(2^n-1)}{2^n-1}=1025 \\ \Rightarrow 2^n+1=1025 \\ \Rightarrow 2^n=1024 \\ \Rightarrow 2^n=2^{10} \\ \Rightarrow n=10\,\,\text{(ans.)}$

$\,28.\, 4\,\,$ টি আপেল,  $\,5\,$ টি কমলালেবু এবং $\,3\,$ টি আম থেকে এক বা একাধিক ফল কত রকমে নির্বাচন করা যায়, যদি এক ধরনের ফল একই  আকারের হয় ?

Sol. $~~~4\,\,$ টি আপেল,  $\,5\,$ টি কমলালেবু এবং $\,3\,$ টি আম থেকে এক বা একাধিক ফল কত রকমে নির্বাচন করা যায় তা হল 

$=(4+1)(5+1)(3+1)-1\\=5 \times 6\times 4-1\\=119\,\,\text{(ans.)}$

$\,29.\,$  মনে করো, $\,n\,$ সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট একটি বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা $\,t_n\,$;  যদি $\,t_{n+1}=9\,$ হয়, তবে $\,n\,$-এর মান নির্ণয় করো। 

Sol.  $\,n\,$ সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট একটি বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা $=({}^nC_2-n).$

সুতরাং, $\,t_n={}^nC_2-n \\ \Rightarrow t_{n+1}={}^{n+1}C_2-(n+1).$

প্রশ্নানুসারে , $t_{n+1}=9 \\ \Rightarrow {}^{n+1}C_2-(n+1)=9 \\ \Rightarrow \frac{(n+1)!}{2!(n+1-2)!}-(n+1)=9 \\ \Rightarrow \frac{(n+1)!}{2\times (n-1)!}-(n+1)=9 \\ \Rightarrow \frac{n(n+1)}{2}-(n+1)=9 \\ \Rightarrow n^2+n-2n-2=18 \\ \Rightarrow n^2-n-20=0\\ \Rightarrow n^2+4n-5n-20=0 \\ \Rightarrow n(n+4)-5(n+4)=0 \\ \Rightarrow (n-5)(n+4)=0 \\ \Rightarrow n-5=0\,\,[\because n+4 \neq 0] \\ \Rightarrow n=5\,\,\text{(ans.)}$

$\,30.\,~~$  মনে করো, $\,n\,$সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট একটি সুষম বহুভুজের কৌণিক বিন্দুগুলি যোগ করে $\,T_n\,$ সংখ্যক ত্রিভুজ গঠন করা যায়। যদি$\, T_{n+1}-T_n=21\,\,$ হয়, তবে  $\,n\,$-এর মান নির্ণয় করো।

Sol. $\,n\,$সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট একটি সুষম বহুভুজের কৌণিক বিন্দুগুলি যোগ করে $\,\,{}^nC_3\,\,$ সংখ্যক ত্রিভুজ গঠন করা যায়। 

$\,\,\therefore \, T_n={}^nC_3,\\ \Rightarrow T_{n+1}= {}^{n+1}C_3.$

$\,\,\therefore\,$ প্রশ্নানুসারে , 

$T_{n+1}-T_n=21 \\ \Rightarrow  {}^{n+1}C_3-{}^{n}C_3=21 \\ \Rightarrow \frac{(n+1)!}{3!(n+1-3)!}-\frac{n!}{3!(n-3)!}=21 \\ \Rightarrow  \frac{(n+1)n(n-1)(n-2)!}{6\times (n-2)!}-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)!}{6 \times (n-3)!}=21 \\ \Rightarrow  \frac 16 n(n+1)(n-1) \\ ~~~~~~~~-\frac 16n(n-1)(n-2)=21 \\ \Rightarrow  n(n-1)[(n+1)-(n-2)]=21 \times 6 \\ \Rightarrow  n(n-1)(n+1-n+2)=21 \times 6 \\ \Rightarrow  n(n-1)=\frac{21 \times 6}{3} \\ \Rightarrow  n^2-n-42=0 \\ \Rightarrow  n^2-7n+6n-42=0 \\ \Rightarrow  n(n-7)+6(n-7)=0 \\ \Rightarrow  (n-7)(n+6)=0 \\ \Rightarrow  n-7=0\,\,[\because n+6 \neq 0] \\ \Rightarrow  n=7\,\,\text{(ans.)}$