Combination | সমবায় | Part-2

Combination | সমবায় | S N De Maths Solution | Part-2 

$13.~~~\,2310\,\,$ এর মধ্যে কত বিভিন্ন রকম উৎপাদক আছে?

 Sol.  আমরা জানি, $\,n\,$ সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু  থেকে একযোগে যতগুলো ইচ্ছা বস্তু নিয়ে সমবায় সংখ্যা হল $=2^n-1\rightarrow(1)\,$  

এখানে, $\,n=5\,$ , যেহেতু $\,5\,$ টি বিভিন্ন উৎপাদক আছে । কারন, $\,2310=2 \times 3\times 5\times 7\times 11$

 সুতরাং, এক্ষেত্রে $\,(1)\,\,$ থেকে পাই,  $\,2310\,\,$ এর মধ্যে $\,=2^5-1=31\,\,\,$টি  বিভিন্ন রকম উৎপাদক আছে। 

$\,14.\,$ কোন পরীক্ষায় পাস করতে হলে একজন পরীক্ষার্থীকে $\,8\,$ টি বিষয়ের প্রত্যেকটিতে একটি ন্যূনতম নম্বর পেতে হয়। কত উপায়ে একজন পরীক্ষার্থী পরীক্ষায় ফেল করতে পারে?

Sol. ধরা যাক, পরীক্ষার্থীটি একটি বিষয়ে ন্যূনতম নম্বর না পেয়ে ফেল করতে পারে এবং এটি সম্ভব $\,{}^{8}C_1\,$ প্রকারে।

একই ভাবে, পরীক্ষার্থীটি $\,2\,$ বিষয়ে ন্যূনতম নম্বর না পেয়ে ফেল করতে পারে এবং এটি সম্ভব $\,{}^{8}C_2\,$ প্রকারে,$\,3\,$ বিষয়ে ন্যূনতম নম্বর না পেয়ে ফেল করতে পারে এবং এটি সম্ভব $\,{}^{8}C_3\,$ প্রকারে,$\,4\,$ বিষয়ে ন্যূনতম নম্বর না পেয়ে ফেল করতে পারে এবং এটি সম্ভব $\,{}^{8}C_4\,$ প্রকারে, ‌$\,5\,$ বিষয়ে ন্যূনতম নম্বর না পেয়ে ফেল করতে পারে এবং এটি সম্ভব $\,{}^{8}C_5\,$ প্রকারে,$\,6\,$ বিষয়ে ন্যূনতম নম্বর না পেয়ে ফেল করতে পারে এবং এটি সম্ভব $\,{}^{8}C_6\,$ প্রকারে, $\,7\,$ বিষয়ে ন্যূনতম নম্বর না পেয়ে ফেল করতে পারে এবং এটি সম্ভব $\,{}^{8}C_7\,$ প্রকারে,$\,8\,$ বিষয়ে ন্যূনতম নম্বর না পেয়ে ফেল করতে পারে এবং এটি সম্ভব $\,{}^{8}C_8\,$ প্রকারে। 

সুতরাং, এক্ষেত্রে মোট নির্বাচন সংখ্যা 

$\\={}^{8}C_1+{}^{8}C_2+{}^{8}C_3+{}^{8}C_4+{}^{8}C_5 \\ ~~~~~~~~~+{}^{8}C_6+{}^{8}C_7+{}^{8}C_8 \\ =2^8-1\\=256-1\\=255$

1. $\,\,{}^{n}C_r : {}^{n}C_{r+1} : {}^{n}C_{r+2}=1:2:3\,\,$ হলে, $\,n=?,r=?$

Sol. $\,\,{}^{n}C_r : {}^{n}C_{r+1}=1:2 \\ \Rightarrow 2. {}^{n}C_r={}^{n}C_{r+1} \\ \Rightarrow 2.\frac{n!}{(n-r)!\times r!}= \frac{n!}{(n-r-1)! \times (r+1)!} \\ \Rightarrow 2 \times \frac{n!}{(n-r-1)! (r+1)r!}=\frac{n!}{(n-r-1)! (r+1)r!} \\ \Rightarrow \frac{2}{n-r}=\frac{1}{r+1} \\ \Rightarrow r+1=\frac{n-r}{2} \rightarrow (1)$

$\,\,{}^{n}C_{r+1} : {}^{n}C_{r+2}=2:3 \\ \Rightarrow 3. {}^{n}C_{r+1}=2.{}^{n}C_{r+2} \\ \Rightarrow 2.\frac{n!}{(n-r-1)!\times (r+1)!}\\= \frac{n!}{(n-r-2)! \times (r+2)!} \\ \Rightarrow \frac{2}{(n-r-1)(n-r-2)! \times (r+1)!}\\=\frac{1}{(n-r-2)! \times (r+2)(r+1)!} \\ \Rightarrow r+2=\frac23 \times (n-r-1) \\ \Rightarrow (r+1)+1= \frac23 \times (n-r-1) \\ \Rightarrow \frac{n-r}{2}+1= \frac23 \times (n-r-1) \\ \Rightarrow  6\left(\frac{n-r}{2}+1\right)= 6\left[\frac23 \times (n-r-1)\right] \\ \Rightarrow 3(n-r)+6=4(n-r-1)\\ \Rightarrow n-r=10 \rightarrow (2)$

এখন, $\,(1)\,$ ও $\,(2)\,$ থেকে পাই, $\,\, r+1= \frac{10}{2}=5 \\ \Rightarrow r=5-1=4$  

এখন, $\,(2)\,$ থেকে পাই, $\,\, n-r=10 \\ \Rightarrow n=10+4=14.$ 

 $2.~~~\,{}^nP_r=336 \,$ ও $\,{}^nC_r=56\,$ হলে,  $\,n\,$ ও $\,r\,$ -এর মান নির্ণয় কর। 

 Sol.  $\,{}^nP_r=336 \\ \Rightarrow r! \times {}^nC_r=336 \\ \Rightarrow r! \times 56=336 \\ \Rightarrow r!=\frac{336}{56} =3! \\ \Rightarrow r=3.$

$3. ~~~~~\,m={}^{n}C_2\,\,\,$  হলে, দেখাও যে, $~~~~~\,{}^{m}C_2=3\cdot {}^{n+1}C_4\,$

Sol. $\,\,{}^{m}C_2\\=\frac{m!}{2!(m-2)!}\\=\frac{m(m-1)}{2} \rightarrow (1)$

কিন্তু, $\,m={}^{n}C_2=\frac{n(n-1)}{2} \rightarrow (2)$ 

$(1)$ ও $\,(2)\,\,$হতে পাই,  $\quad {}^{m}C_2\\=\frac12 . \frac{n(n-1)}{2}. \left[\frac{n(n-1)}{2}-1\right] \\=\frac18. n(n-1)(n^2-n-2) \rightarrow (3)$ 

আবার, $\, 3 \times {}^{n+1}C_4\\ =3. \frac{(n+1)!}{4!\times (n+1-4)}\\= \frac{3}{4\cdot 3 \cdot 2\cdot 1} \times \frac{(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)!}{(n-3)!}\\=\frac18 \times n(n-1) \left[(n+1)(n-2) \right]\\= \frac18 n(n-1)(n^2-n-2) \rightarrow (4)$

$(3)\,$ ও $\,(4)\,$  থেকে পাই,  $\,{}^{m}C_2=3. {}^{n+1}C_4\,$ 

 $4.~~~{}^{n}P_r={}^{n}P_{r+1}\,\,$ ও $\,{}^{n}C_r={}^{n}C_{r-1}\,\,$ হলে, $\,n\,$ ও $\,r\,$ এর মান নির্ণয় কর । 

 Sol. $\,{}^{n}C_r={}^{n}C_{r-1} \\ \Rightarrow r+(r-1)=n \\ \Rightarrow 2r= n+1 \rightarrow (1)$

${}^{n}P_r={}^{n}P_{r+1} \\ \Rightarrow r!. {}^{n}C_r= (r+1)!. {}^{n}C_{r+1}\\ \Rightarrow r! \frac{n!}{(n-r)!r!}=(r+1)! \frac{n!}{(n-r-1)!(r+1)!} \\ \Rightarrow \frac{r!}{(n-r)(n-r-1)! \times r!}=\frac{1}{(n-r-1)!\times 1}\\ \Rightarrow  \frac{1}{n-r}=1 \\ \Rightarrow  n-r=1 \\ \Rightarrow n=r+1 \rightarrow (2) $

$(1)$ ও $\,(2)\,\,$হতে পাই, $\quad 2r=(r+1)+1\\ \Rightarrow 2r=r+2 \\ \Rightarrow r=2.$

$(1)\,\,$হতে পাই, $\,\,2.2=n+1 \Rightarrow n=4-1=3.$ 

 

$\,5.\,$ প্রমাণ করঃ 

 $\,(i)~~ {}^nC_r+{}^{n-1}C_{r-1}+{}^{n-1}C_{r-2}={}^{n+1}C_{r}$

 Sol. $~~~~\,{}^{n-1}C_{r-1}+{}^{n-1}C_{r-2}={}^{n}C_{r-1} ,$ 

$[\because \,\,{}^{n}C_r+{}^nC_{r-1}={}^{n+1}C_r]$

 সুতরাং, LHS= $\, {}^nC_r+{}^{n-1}C_{r-1}+{}^{n-1}C_{r-2}\\={}^nC_r+{}^{n}C_{r-1}\\={}^{n+1}C_{r}\\=\text{RHS}$ 

5(ii) $\,\,{}^nC_r=\frac{n-r+1}{r} \times {}^nC_{r-1}$

Sol. Check S.N.De workout example 

 $5(iii).\,\, \frac{{}^nC_r+{}^nC_{r-1}}{{}^nC_{r-1}+{}^nC_{r-2}}=\frac{{}^{n+1}P_{r}}{r \times {}^{n+1}P_{r-1}}$

 Sol. LHS= $\frac{{}^nC_r+{}^nC_{r-1}}{{}^nC_{r-1}+{}^nC_{r-2}}\\=\frac{{}^{n+1}C_r}{{}^{n+1}C_{r-1}}\\=\frac{\frac{(n+1)!}{r!\times (n+1-r)!}}{\frac{(n+1)!}{(r-1)! \times (n+1-r+1)!}}\\=\frac{1}{r!\times (n+1-r)!}\times \frac{(r-1)!\times (n+2-r)!}{1}\\= \frac{(r-1)!. (n-r+2)!}{r.(r-1)!.(n-r+1)!}\\=\frac{(n-r+2).(n-r+1)!}{r.(n-r+1)!}\\=\frac{n-r+2}{r}$

RHS=$\frac{{}^{n+1}P_r}{r \times {}^{n+1}P_{r-1}}\\=\frac{(n+1)!}{(n+1-r)!} \times \frac 1r \times \frac{1}{\frac{(n+1)!}{(n+1-r+1)!}}\\ = \frac{(n+1)!}{(n-r+1)!} \times  \frac 1r \times \frac{(n-r+2)!}{(n+1)!} \\= \frac{(n-r+2)(n-r+1)!}{(n-r+1)!\times r}\\ =\frac{n-r+2}{r}$

সুতরাং, LHS=RHS (proved)

$\,5(iv)\,~~{}^{45}C_8+\sum_{r=1}^7 {}^{52-r}C_r\\+ \sum_{k=1}^5 {}^{57-k}C_{50-k}={}^{57}C_8$

Sol. $\,\,\,{}^{45}C_8+\sum_{r=1}^7 {}^{52-r}C_r+ \sum_{k=1}^5 {}^{57-k}C_{50-k}\\={}^{45}C_8+({}^{51}C_7+{}^{50}C_7+\cdots +{}^{46}C_7+{}^{45}C_7)\\+\sum_{k=1}^5 {}^{57-k}C_{50-k}\\=({}^{45}C_8+{}^{45}C_7)+{}^{46}C_7+{}^{47}C_7\\+\cdots+{}^{51}C_7+\sum_{k=1}^5 {}^{57-k}C_{(57-k)-(50-k)}\\={}^{46}C_8+{}^{46}C_7+{}^{47}C_7+\cdots +{}^{51}C_7\\+\sum_{k=1}^5 {}^{57-k}C_7\\ \vdots\\={}^{52}C_8+({}^{56}C_7+{}^{55}C_7+{}^{54}C_7\\~~~+{}^{53}C_7+{}^{52}C_7)\\=({}^{52}C_8+{}^{52}C_7)+{}^{53}C_7+{}^{54}C_7\\~~~~+{}^{55}C_7+{}^{56}C_7\\={}^{53}C_8+{}^{53}C_7+{}^{54}C_7+{}^{55}C_7+{}^{56}C_7\\ \vdots \\={}^{56}C_8+{}^{56}C_7\\={}^{57}C_8\,\,\text{(proved)}$

 $ 5(v)~~~\,\,{}^{15}C_8+{}^{15}C_9-{}^{15}C_6-{}^{15}C_7=0$

 Sol. $\,\,{}^{15}C_8+{}^{15}C_9-{}^{15}C_6-{}^{15}C_7\\=[{}^{15}C_8+{}^{15}C_9]-[{}^{15}C_6+{}^{15}C_7]\\={}^{15+1}C_9-{}^{15+1}C_7\\~~~~~~~~~[\because {}^nC_r+ {}^nC_{r-1}={}^{n+1}C_r]\\={}^{16}C_9-{}^{16}C_7\\=\frac{16}{9!\times (16-9)!}-\frac{16}{7!\times (16-7)!}\\=\frac{16!}{9!7!}-\frac{16!}{7!9!}\\=0\,\,\,\text{(proved)}$