Permutation | বিন্যাস | Part-8

 Permutation | বিন্যাস | Miscellaneous | Part-8

$1.~~~ 5\,$ জন প্রথম বর্ষের ছাত্র এবং $\,3\,$ জন দ্বিতীয় বর্ষের ছাত্রকে একটি সারিতে কত রকমভাবে বসানো যায় যাতে দু'জন দ্বিতীয় বর্ষের ছাত্র একসাথে না বসে? $[H.S. 1998]$

অনুরূপ প্রশ্ন : $\,5\,$ জন বালক ও $\,3\,$ জন বালিকাকে এক সারিতে কত প্রকারে বসান যেতে পারে যাতে কোন দুটি বালিকা কখনও পাশাপাশি না থাকে? $\,[H.S. 2002]\,$

উঃ $\,5\,$ জন প্রথম বর্ষের ছাত্র মোট $\,5!\,$ উপায়ে $\,5\,$ টি আসনে বসতে পারে। এখন, যে কোন দু’জন দ্বিতীয় বর্ষের ছাত্র পাশাপাশি বসতে পারবে না যদি তাদের মধ্যে একজন প্রথম বর্ষের ছাত্র বসে। সুতরাং দ্বিতীয় বর্ষের ছাত্ররা প্রথম বর্ষের $\,5\,$ জন ছাত্রের মধ্যবর্তী $\,4\,$ টি স্থান ও দুটি প্রান্তের দুটি স্থান এই মোট $\,6\,$ টি স্থানের যে-কোন তিনটি স্থানে বসলে তারা কখনই পাশাপাশি বসতে পারবে না। $\,6\,$ টি স্থানের মধ্যে $\,3\,$ টি স্থানে দ্বিতীয় বর্ষের ছাত্ররা $\, {}^6P_3\,$ উপায়ে বসতে পারে।

এখন প্রথম বর্ষের $\,5!\,$ প্রকার বসার প্রতিটি উপায়ে দ্বিতীয় বর্ষের ছাত্ররা $\, {}^6P_3\,$  উপায়ে বসতে পারে। সুতরাং প্রথম ও দ্বিতীয় বর্ষের ছাত্ররা মোট $\, 5! \times  {}^6P_3\,$  উপায়ে বসতে পারে।

$\,\,\therefore \,\,$ প্রথম ও দ্বিতীয় বর্ষের ছাত্ররা যত রকমে বসতে পারে তার সংখ্যা

 $=5! \times \, {}^6P_3\\ = 120 × 6 × 5 × 4 \\= 120 \times  120 \\= 14400.$ 

$\,2.\,~~~\,\text{PROBLEM}\,$ শব্দটি থেকে কত বিভিন্ন প্রকারে $\,4\,$ টি অক্ষর নিয়ে শব্দ গঠন করা যায়? (শব্দগুলি অর্থবহ না হতেও পারে)

উঃ  $\,\text{PROBLEM}\,$  শব্দটিতে $\,7\,$ টি বিভিন্ন অক্ষর আছে। সুতরাং $\,7\,$ টি বিভিন্ন অক্ষর থেকে একযোগে $\,4\,$টি অক্ষর নিয়ে বিন্যাসের সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে। 

এরূপ বিন্যাসের সংখ্যা $= {}^7P_4 = 7\times 6\times 5\times 4 = 840.$ 

$\,\therefore \,$ নির্ণেয় শব্দ গঠনের সংখ্যা $=840.$

$3.\,~~~\text{PROPORTION}$ শব্দটির অক্ষরগুলিকে একযোগে নিয়ে কতগুলি বিভিন্ন প্রকারের বিন্যাস পাওয়া যায় ?

Sol. $~~~~\text{PROPORTION}\,\,$ শব্দটিতে মোট $\,10\,$ টি অক্ষর আছে, যার মধ্যে $\,2\,$ টি P, $\,2\,$ টি R, $\,3\,$ টি O, $\,3\,$ টি বিভিন্ন অক্ষর আছে। 

এই অক্ষর গুলোর বিন্যাস সংখ্যা $=\frac{10!}{2! \cdot 2! \cdot 3!}\\=\frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot3!}{2! \cdot 2! \cdot 3!}\\=10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7\cdot 6\cdot 5\\=151200\,\text{(ans.)}$

$\,4.\,\, (i)~~~ 4 $টি চিঠি ও $\,4\,$ টি নির্দিষ্ট ঠিকানা লেখা খাম আছে। কত প্রকার চিঠিগুলি সঠিক খামে রাখা যায়? 

$\,(ii)\, 4\,\,$ টি চিঠি ও $\,4\,$ টি ঠিকানা না লেখা খাম আছে। কত প্রকারে চিঠিগুলি  সঠিক খামে রাখা যায়?

$\,(iii)\, 4\,\,$ টি চিঠি ও $\,4\,$ টি ডাকবাক্স আছে। কত প্রকারে চিঠিগুলি ডাকবাক্সে ফেলা যায়? 

Sol. $\,(i)\,$  যেহেতু খামগুলিতে ঠিকানা লেখা আছে, সুতরাং প্রত্যেকটি চিঠি নির্দিষ্ট খামে মাত্র এক প্রকারেই রাখা যায়। অতএব $\,4\,$ টি চিঠি একত্রে খামে রাখা যায় $\,1×1×1× 1 = 1\,$ প্রকারে।

$\,(ii)\,$  যেহেতু খামগুলিতে ঠিকানা লেখা নেই, সুতরাং প্রথম চিঠিটি  $\,4\,$ টি খামের যে কোন একটিতে $\,4\,$ প্রকারে রাখা যায়। প্রথম চিঠিটি খামে  রাখার পর দ্বিতীয় চিঠিটি অবশিষ্ট  $\,3\,$ টি খামের যে-কোন একটিতে $\,3\,$ প্রকারে রাখা যায়। অতএব প্রথম দুটি চিঠি একত্রে $\,4 \times 3\,$ প্রকারে খামে রাখা যায়। প্রথম ও দ্বিতীয় চিঠিটি খামে রাখার পর তৃতীয় চিঠিটি অবশিষ্ট $\,2\,$ টি খামের যে-কোন একটিতে $\,2\,$ প্রকারে খামে রাখা যায়। অতএব প্রথম তিনটি চিঠি একত্রে $\,4 \times 3 \times  2\,\,\,$প্রকারে খামে রাখা যায়। এখন, তিনটি চিঠি খামে রাখার পর চতুর্থ চিঠিটি অবশিষ্ট একটি খামে  মাত্র এক প্রকারেই রাখা যায়। অতএব  $\,4\,$ টি চিঠি একত্রে $\,4 \times 3 \times  2 \times 1=4!=24\,\,$ প্রকারে রাখা যায়।

$\,(iii)\,$ প্রথম চিঠিটি $\,4\,$ টি ডাকবাক্সের যে-কোন একটিতে $\,4\,$ প্রকারে ফেলা

যায়। দ্বিতীয় চিঠিটিও $\,4\,$ টি ডাকবাক্সের যে কোন একটিতে $\,4\,$প্রকারে ফেলা যায়, যেহেতু একই ডাকবাক্সে একাধিক চিঠি ফেলা যায়। অতএব প্রথম দুটি চিঠি একত্রে $\,\, 4\times 4=4^2\,\,$ প্রকারে ডাকবাক্সে ফেলা যায়। অনুরূপে তৃতীয় চিঠিটি $\,4\,$ প্রকারে এবং তিনটি চিঠি একত্রে $\,\, 4^2 \times 4 =4^3\,\,$ প্রকারে, চতুর্থ চিঠিটি $\,\, 4\,$ প্রকারে এবং চারটি চিঠি একত্রে $\,\, 4^3\times 4=4^4=256\,\,$ প্রকারে ডাকবাক্সে ফেলা যায়।

$\,5.\,~~$ একটি ট্রেনের কামরায় $\,6\,$ টি আসন খালি আছে। ঐ কামরায় $\,3\,$ জন যাত্রী উঠলে তারা কত বিভিন্ন প্রকারে খালি আসনে বসতে পারবে?

উঃ প্রথম যাত্রী  $\,6\,$ টি খালি আসনের যে-কোন একটিতে $\,6\,$ প্রকারে বসতে পারে। দ্বিতীয় যাত্রী অবশিষ্ট $\,5\,$ টি খালি আসনের যে-কোন একটিতে $\,5\,$ প্রকারে বসতে পারে। এখন, প্রথম যাত্রী যে-কোন এক প্রকারে বসলে  দ্বিতীয় যাত্রী $\,5\,$ প্রকারে বসতে পারে। সুতরাং প্রথম যাত্রীর $\,6\,$ প্রকারে বসার সঙ্গে দু’জন যাত্রী $\,6 \times 5=30\,$ প্রকারে বসতে পারে। আবার, দুজন যাত্রী বসার পর $\,4\,$ টি আসন খালি থাকে। সুতরাং তৃতীয় যাত্রী $\,4\,$ টি খালি আসনের যে-কোন একটিতে $\,4\,$ প্রকারে বসতে পারে। এখন, প্রথম দু’জন যাত্রী প্রতি প্রকারে বসার সঙ্গে তৃতীয় যাত্রী $\,4\,$ প্রকারে বসতে পারে। সুতরাং প্রথম দুজন যাত্রীর $\,30\,$ প্রকারে বসার সঙ্গে তিনজন যাত্রী $\,30 \times 4=120\,$  টি প্রকারে বসতে পারবে।

$\,\therefore \,$ তিনজন যাত্রী $\,120\,$ টি বিভিন্ন প্রকারে বস্তে পারবে। 

দ্রষ্টব্য :  প্রশ্নটিকে এরূপেও ভাবা যায়, $\,6\,$ টি আসন থেকে একযোগে $\,3\,$ টি আসন নিয়ে কত বিভিন্ন প্রকারে বিন্যাস করা যায়? 

এই বিন্যাসের সংখ্যা = $\,{}^6P_3=6 \times 5\times 4=120.$

$\,6.\,$ কোন অঙ্ক একাধিকবার ব্যবহার না করে $\,0, 1, 2, 3, 4, 5\,\,$ অঙ্কগুলির সাহায্যে কতগুলি সার্থক ছয় অঙ্কবিশিষ্ট অযুগ্ম সংখ্যা গঠন করা যায় ?$\,[T.H.S. 1996]$

উঃ যেহেতু গঠিত সংখ্যাগুলি অযুগ্ম হবে, সুতরাং এককের স্থানে $\,1, 3\,$ ও $\,5\,$ এই তিনটি সংখ্যার যে-কোন একটি সংখ্যা বসবে। অতএব এককের স্থানটি পূর্ণ হতে পারে $\,3\,$ প্রকারে।

অবশিষ্ট $\,5\,$ টি স্থানে $\,5\,$ টি অঙ্ক $\,5!\,$ প্রকারে বসান যায়। কিন্তু এই সব ক্ষেত্রে কিছু সংখ্যা এরূপ গঠিত হবে যাদের বামদিকের প্রথম অঙ্কটি $\,0\,$ হবে, অতএব গঠিত সংখ্যাটি সার্থক ছয় অঙ্কবিশিস্ট হবে না। 

এখন, বামদিকের প্রথম স্থানে $\,0\,$ বসালে $\,5\,$ টি স্থানের অবশিষ্ট $\,4\,$ টি স্থান (এককের স্থান বাদে) $\,4\,$ টি অঙ্ক দ্বারা $\,4!\,$ প্রকারে পূর্ণ হতে পারে। 

অতএব এককের স্থানে একটি অযুগ্ম সংখ্যা বসলে এবং বামদিকের প্রথম স্থানে $\,0\,$ থাকবে না এরূপ $\,(5!-4!)\,$ প্রকারে অঙ্কগুলি বসান যায়। যেহেতু এককের স্থান $\,3\,$ প্রকারে পূর্ণ হতে পারে এবং প্রতিটি এককের স্থান পূর্ণ হওয়ার সঙ্গে অবশিষ্ট $\,5\,$ টি স্থান $\,(5! –4!)\,$ উপায়ে পূর্ণ হতে পারে, সুতরাং মোট $\,6\,$ টি স্থান পূর্ণ হতে পারে $\,3 \times (5! – 4!)\,$ প্রকারে। 

$\,\therefore \,$ নির্ণেয় সংখ্যার সংখ্যা 

$= 3 × (5! –4!) \\= 3 × (5 \times 4!-4!)\\ = 3\times 4 \times 4! \\= 12×24\\=288.$