Combination | সমবায় | Part-3

 Combination | সমবায় | S N De Maths Solution | Part-3

$\,6(i).~~~~~{}^{n}C_{r-1}=36, \,\,{}^nC_r=84 ,\\  {}^nC_{r+1}=126$ 

হলে, $\,n\,$ ও $\,r\,$ -এর মান নির্ণয় কর।

 Sol. যেহেতু,  $\,\,\frac{{}^nC_{r}}{{}^nC_{r-1}}=\frac{n-r+1}{r}$  সুতরাং, $\,\,\frac{{}^nC_{r+1}}{{}^nC_{r}}=\frac{n-r}{r+1}$.

এখন, $\,\,{}^{n}C_{r-1}=36, \,\,{}^nC_r=84 \,\, {}^nC_{r+1}=126$

সুতরাং, $\,\frac{84}{36}=\frac{7}{4}=\frac{n-r+1}{r} \rightarrow(1)$  এবং $\, \frac{126}{84}=\frac 32=\frac{n-r}{r+1}\rightarrow (2)$

$\,(1)\,$ নং থেকে পাই, $\,\,3n-10r+3=0 \rightarrow(3)$

$\,(2)\,$ নং থেকে পাই, $\,\,2n-5r-3=0 \rightarrow (4)$

$\,(3)\,$ ও $\,(4)\,$ সমাধান করে পাই, $\,\,n=9,\,r=3.$

$\,6(ii)\,~~$ যদি $\, \frac{{}^nC_{r-1}}{b}=\frac{{}^nC_{r-1}}{b}=\frac{{}^nC_{r-1}}{b}\,$ হয়, তবে প্রমাণ কর, 

$\,n=\frac{ab+2ac+bc}{b^2-ac}\,\, , r=\frac{a(b+c)}{b^2-ac}$.

 Sol. আমরা জানি,  $\,\,\frac{{}^nC_{r}}{{}^nC_{r-1}}=\frac{n-r+1}{r} \\ \Rightarrow \frac ba =\frac{n-r+1}{r} \rightarrow (1)$ 

 $\,\,\frac{{}^nC_{r+1}}{{}^nC_{r}}=\frac{n-r}{r+1} \\ \Rightarrow \frac cb =\frac{n-r}{r+1} \rightarrow (2)$ 

$\,(1)\,$ নং থেকে পাই, $\,br=a(n-r+1) \\ \Rightarrow r(b+a)=a(n+1) \rightarrow (3)$

$\,(2)\,$ নং থেকে পাই, $\,c(r+1)=b(n-r)\\  \Rightarrow r(c+b)=bn-c \rightarrow (4)$

$\,(3)\,$ ও $\,(4)\,$ নং থেকে পাই, 

$\,\,\frac{b+a}{b+c}=\frac{a(n+1)}{bn-c} \\ \Rightarrow (a+b)(bn-c)=(b+c)[a(n+1)] \\ \Rightarrow n[b(a+b)-a(b+c)] \\ ~~~~~~~~~~=c(a+b)+a(b+c) \\ \Rightarrow n=\frac{2ac+bc+ab}{b^2+ab-ab-ac}\\ \Rightarrow n= \frac{ab+2ac+bc}{b^2-ac}$

7(i) $\,n\,$-সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে একযোগে  $\,r\,$-সংখ্যক বস্তু নিয়ে গঠিত বিন্যাসের সংখ্যাকে $\,{}^{n}P_r\,$ দিয়ে সূচিত করলে দেখাও যে, $\, \frac{{}^nP_1}{1!}+\frac{{}^nP_2}{2!}+\frac{{}^nP_3}{3!}+......+\frac{{}^nP_n}{n!}=2^n-1$ 

Sol. $~~~\text{LHS}=\, \frac{{}^nP_1}{1!}+\frac{{}^nP_2}{2!}+\frac{{}^nP_3}{3!}+......+\frac{{}^nP_n}{n!}\\={}^nC_1+{}^nC_2+{}^nC_3+\cdots \cdots+{}^nC_n \\~~~~~~~~~[{}^nP_r /r!={}^nC_r ,\,\, r=1,2,3, \cdots \cdots]\\= 2^n-1\\=\text{RHS}$

$\,7(ii)\,~~$ প্রমাণ কর, $\,\,(n+1)[n!n+(n-1)!(2n-1)\\+(n-2)!(n-1)]=(n+2)!\,\,$ 

যেখানে, $\,n\in N$.

Sol. ধরা যাক, $\,\,(n+1)[n!n+(n-1)!(2n-1)\\+(n-2)!(n-1)]\\=(n+1)n!n+(n+1)(n-1)!(2n-1)\\~~~~~~+(n+1)(n-2)!(n-1)\\=A+B+C,$ 

যেখানে, $A=(n+1)n!n=(n+1)!n, \\B=(n+1)(n-1)!(2n-1)\\=(n-1)!(2n-1)(n+1)\\=(n-1)!(2n^2+n-1)\\=(n-1)!n+(2n^2-1)(n-1)!\\=n(n-1)!+2n^2(n-1)!-(n-1)!\\=n!+2n.n(n-1)!-(n-1)!\\=n!+2n.n!-(n-1)!,\\C=(n+1)(n-2)!(n-1)\\=(n+1)[(n-1)(n-2)!]\\=(n+1)(n-1)!$

$\text{LHS}=A+B+C\\=n(n+1)!+[n!+2n.n!-(n-1)!]\\+[n!+(n-1)!]\\=n(n+1)!+n!+2n.n!-(n-1)!\\+n!+(n-1)!\\=n(n+1)!+n!(1+2n+1)\\=n(n+1)!+2n!(n+1)\\=n(n+1)!+2(n+1)n!\\=n(n+1)!+2(n+1)!\\=(n+1)!(n+2)\\=(n+2)(n+1)!\\=(n+2)!=\text{RHS}$

$\,7(iii)\,~~~$ মান নির্ণয় কর : $\,\, {}^{20}C_5 + \sum^{5}_{j=2} {}^{25-j}C_4$

Sol. এই গানিতিক সমস্যাটি সমাধান করতে আমরা  $\,\, {}^{n}C_r+{}^{n}C_{r-1}={}^{n+1}C_r$- এই সূত্রটি ব্যবহার করব। 

$\,\, {}^{20}C_5 + \sum^{5}_{j=2} {}^{25-j}C_4 \\ ={}^{20}C_5+[{}^{25-2}C_4+{}^{25-3}C_4+{}^{25-4}C_4\\~~~~~~~~~~~+{}^{25-5}C_4]\\= {}^{20}C_5+[{}^{23}C_4+{}^{22}C_4+{}^{21}C_4+{}^{20}C_4] \\ =[{}^{20}C_5+{}^{20}C_4] +{}^{23}C_4+{}^{22}C_4+{}^{21}C_4\\ = [{}^{21}C_5+{}^{21}C_4]+ {}^{23}C_4+{}^{22}C_4 \\ = [{}^{22}C_5+{}^{22}C_4]+{}^{23}C_4\\=[{}^{23}C_5+{}^{23}C_4]\\ = {}^{24}C_5 \\= \frac{24!}{5!(24-5!)}\\=\frac{24!}{19! \times 5!}\\= 42504\,\,\text{(ans.)}$

$\,8(i)\,~~~$ যদি $\,{}^nC_1,{}^nC_2,{}^nC_3\,$ সমান্তর প্রগতিতে থাকে তবে $\,n\,$এর মান নির্ণয় করো। 

Sol. প্রশ্ন অনুযায়ী , $\,\, 2 \times {}^nC_2={}^nC_1+{}^nC_3 \\ \Rightarrow 2 \times \frac{n!}{2!(n-2)!}=\frac{n!}{1!(n-1)!}+\frac{n!}{3!(n-3)!}  \\ \Rightarrow  \frac{1}{(n-2)!}=\frac{1}{(n-1)!}+\frac{1}{6(n-3)!} \\ \Rightarrow  \frac{1}{(n-2)(n-3)!}=\frac{1}{(n-1)(n-2)(n-3)!}+\frac{1}{6(n-3)!} \\ \Rightarrow  \frac{1}{n-2}=\frac{1}{(n-1)(n-2)}+\frac 16 \\ \Rightarrow  \frac{1}{n-2}=\frac{6+(n-1)(n-2)}{6(n-1)(n-2)} \\ \Rightarrow  1=\frac{6+n^2-3n+2}{6n-6} \\ \Rightarrow  6n-6=n^2-3n+8 \\ \Rightarrow  0=n^2-3n-6n+6+8 \\ \Rightarrow  n^2-9n+14=0\\ \Rightarrow n^2-9n+14=0 \\ \Rightarrow n^2-2n-7n+14=0\\ \Rightarrow (n-2)(n-7)=0 \\ \Rightarrow n=7 \,\,\,[n-2 \neq 0]$ 

$\,8(ii)\,$ সমাধান কর : $\,\, \frac{(2x+1)!}{(x+2)!} \times \frac{(x-1)!}{(2x-1)!}=\frac 35$

Sol. $\,\, \frac{(2x+1)!}{(x+2)!} \times \frac{(x-1)!}{(2x-1)!}=\frac 35 \\ \Rightarrow \frac{(2x+1)2x(2x-1)!}{(x+2)(x+1)x(x-1)!} \times \frac{(x-1)!}{(2x-1)!} =\frac 35 \\ \Rightarrow \frac{2(2x+1)}{x^2+3x+2}=\frac 35 \\ \Rightarrow 3x^2-11x-4=0 \\ \Rightarrow 3x^2-12x+x-4=0 \\ \Rightarrow 3x(x-4)+1(x-4)=0 \\ \Rightarrow (x-4)(3x+1)=0 \\ \Rightarrow x-4=0 \,\, [3x+1 \neq 0] \\ \Rightarrow x=4$ 

$\,8(iii)\,~~$ যদি  $\, n > 7\, \,$হয়, তবে প্রমাণ করঃ $\,\, {}^{n-1}C_3+{}^{n-1}C_4 > {}^{n}C_3$

Sol. আমরা জানি, $\,\, {}^{n}C_r+{}^{n}C_{r-1}={}^{n+1}C_r$

সুতরাং, $\,\, {}^{n-1}C_3+{}^{n-1}C_{4}={}^{n}C_4 \rightarrow (1)$

আবার, $\,\, \frac{{}^nC_4}{{}^nC_3}=\frac{n-4+1}{4} \\ \Rightarrow \frac{{}^nC_4}{{}^nC_3}=\frac{n-3}{4} > \frac{7-3}{4} \,\,[\because n > 7] \\ \Rightarrow \frac{{}^nC_4}{{}^nC_3} > \frac{4}{4}=1 \\ \Rightarrow {}^nC_4 > {}^nC_3 \rightarrow (2)$

সুতরাং, $\,(1)\,$ ও $\,(2)\,$ থেকে পাই,

 $\,\, {}^{n-1}C_3 +  {}^{n-1}C_4 = {}^{n}C_4 > {}^{n}C_3$ (proved )  

$\,9.\,~$ একটি দশভুজের কৌণিক বিন্দু গুলি যুক্ত করে কটি ত্রিভুজ গঠন করা যায়?  দশভূজটির কর্ণের সংখ্যা নির্ণয় করো?

Sol. একটি দশভুজের  দশটি কৌণিক বিন্দু আছে। এই দশটি কৌণিক বিন্দু থেকে তিনটি কৌণিক বিন্দু নির্বাচন করা যায় $\,\,{}^{10}C_3=\frac{10!}{3!\times (10-3)!}=\frac{10.9.8.7!}{3! \times 7!}=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{6}=120\,\,$ প্রকারে। 

আমরা জানি, তিনটি কৌণিক বিন্দু দিয়ে একটি মাত্র ত্রিভুজ গঠন করা যায়। সুতরাং দশটি কৌণিক বিন্দু থেকে তিনটি করে নিয়ে $\,\,120\,\,$টি  ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব। 

 একটি কর্ণ গঠন করতে গেলে দুটি বিন্দুর প্রয়োজন।  সুতরাং দশটি কৌণিক বিন্দু থেকে দুটি করে বিন্দু নিয়ে $\,{}^{10}C_2\,\,$টি বাহু গঠন করা সম্ভব । এতগুলো বাহু বা সরলরেখার মধ্যে দশভুজের দশটি বাহু বাদ দিলে অবশিষ্ট যে কয়টি সরলরেখা থাকে সেটি হল নির্ণেয় কর্ণের সংখ্যা। 

 সুতরাং এক্ষেত্রে নির্ণেয় কর্ণের সংখ্যা হল 

$={}^{10}C_2-10\\=\frac{10!}{2!\times (10-2)!}-10\\=\frac{10.9.8!}{2.8!}-10\\=45-10\\=35\,\,\text{(ans.)}$