Permutation | বিন্যাস | S N De Maths Solution | Part-1

আমরা বিন্যাস অধ্যায়ের (From S N De Books, Chhaya Publisher) অতি সংক্ষিপ্ত উত্তর ধর্মী কিছু প্রশ্ন নিয়ে আলোচনা করব |

$1. \,\,\,n\,$ এর মান নির্ণয় করো, যখন $\,\,\,\,(i)\,\,{}^{n+1}P_3=10 \times {}^{n-1}P_2 $

Sol. ${}^{n+1}P_3=10 \times {}^{n-1}P_2\\ \Rightarrow \frac{(n+1)!}{(n+1-3)!}=10 \times \frac{(n-1)!}{(n-1-2)!}\\ \Rightarrow \frac{(n+1)!}{(n-2)!}=10 \times \frac{(n-1)!}{(n-3)!} \\ \Rightarrow \frac{(n+1)n(n-1)!}{(n-2)(n-3)!}=10 \times \frac{(n-1)!}{(n-3)!}\\ \Rightarrow \frac{n(n+1)}{(n-2)}=10 \times 1 \\ \Rightarrow n(n+1)=10(n-2) \\ \Rightarrow n^2+n-10n+20=0 \\ \Rightarrow n^2-9n+20=0 \\ \Rightarrow n^2-5n-4n+20=0 \\ \Rightarrow n(n-5)-4(n-5)=0 \\ \Rightarrow (n-5)(n-4)=0 \\ \Rightarrow (n-5)=0 \,\,\,\text {or} \,\, (n-4)=0 \\ \Rightarrow  n=5,4\,\,\text{(ans.)}$

$(ii)\quad  {}^nP_5= 20. {}^nP_3$

 Sol. $ \,\,{}^nP_5= 20. {}^nP_3 \\ \Rightarrow \frac{n!}{(n-5)!}= 20 \times \frac{n!}{(n-3)!} \\ \Rightarrow (n-3)!= 20 \times (n-5)! \\ \Rightarrow  (n-3)(n-4)(n-5)!= 20 \times (n-5)! \\ \Rightarrow  (n-3)(n-4)=20 \\ \Rightarrow  n^2-3n-4n+12-20=0 \\ \Rightarrow  n^2-7n -8=0 \\ \Rightarrow n^2-8n+n-8=0 \\ \Rightarrow n(n-8)+1(n-8)=0 \\ \Rightarrow  (n-8)(n+1)=0 \\ \Rightarrow  n=8 \qquad [ n \neq -1] $

$(iii)\, {}^{n+1}P_{4} : {}^{n-1}P_3=72 : 5$

Sol. $~~~~~~  {}^{n+1}P_{4} : {}^{n-1}P_3=72 : 5 \\ \Rightarrow 5 \times {}^{n+1}P_{4} =72 \times  {}^{n-1}P_3 \\ \Rightarrow 5 \times \frac{(n+1)!}{(n+1-4)!} = 72 \times \frac{(n-1)!}{(n-1-3)!}\\  \Rightarrow 5 \times \frac{(n+1)n(n-1)!}{(n-3)(n-4)!}=72 \times \frac{(n-1)!}{(n-4)!} \\ \Rightarrow 5n(n+1)=72(n-3) \\ \Rightarrow 5n^2+5n-72n+216=0 \\ \Rightarrow 5n^2-67n+216=0 \\ \Rightarrow 5n^2-40n-27n+216=0 \\ \Rightarrow 5n(n-8)-27(n-8)=0 \\ \Rightarrow (5n-27)(n-8)=0 \\ \Rightarrow n=8 \qquad [5n-27 \neq 0]$  

$(iv)\quad 16. {}^{15}P_n= 13. {}^{16}P_n$

Sol.  $~~~~~~ 16. {}^{15}P_n= 13. {}^{16}P_n \\ \Rightarrow  16. \frac{15!}{(15-n)!}=13.\frac{16!}{(16-n)!}\\ \Rightarrow \frac{16!}{(15-n)!}=13.\frac{16!}{(16-n)(15-n)!} \\ \Rightarrow 1=13. \frac{1}{(16-n)} \\ \Rightarrow 16-n=13 \\ \Rightarrow 16-13=n \\ \Rightarrow n=3\,\,\text{(ans.)}$

2. $\,\,{}^{2n}P_n={1.3.5.......(2n-1)}2^n$

Sol. 

  L.H.S $\\={}^{2n}P_n\\=\frac{(2n)!}{(2n-n)!}\\=\frac{2n(2n-1)(2n-2)(2n-3)(2n-4)..(2n-n)(2n-\overline{n+1})\\ \cdots 6.5.4.3.2.1}{n!} \\=\frac{[2n(2n-2)(2n-4)\cdots 6.4.2][(2n-1)(2n-3)(2n-5)\\ \cdots7.5.3.1]}{n!}\\=\frac{2^n[n(n-1)(n-2)...3.2.1][(2n-1)(2n-3)(2n-5)\\ \cdots 7.5.3.1]}{n!}\\ =\frac{2^n.n![(2n-1)(2n-3)(2n-5)....7.5.3.1]}{n!}\\={1.3.5.......(2n-1)}2^n\\ =\text{R.H.S}$

3.$\,\,{}^9P_5 +5.{}^9P_4={}^{10}P_r\,\,$ হলে $\,r\,$ এর মান নির্ণয় করো।

Sol.$\quad {}^9P_5 +5.{}^9P_4={}^{10}P_r\\ \Rightarrow \frac{9!}{(9-5)!}+5.\frac{9!}{(9-4)!}=\frac{10!}{(10-r)!} \\ \Rightarrow \frac{9!}{4!}+5.\frac{9!}{5!}=\frac{10!}{(10-r)!}\\ \Rightarrow \frac{9!}{4!}+5.\frac{9!}{5.4!}=\frac{10!}{(10-r)!}\\ \Rightarrow \frac{9!}{4!}+\frac{9!}{4!}=\frac{10.9!}{(10-r)!}\\ \Rightarrow 2.\frac{9!}{4!}=\frac{10.9!}{(10-r)!}\\ \Rightarrow \frac{2}{4!}=\frac{10}{(10-r)!}\\ \Rightarrow \frac{1}{4!}=\frac{5}{(10-r)!} \\ \Rightarrow 5.4!=(10-r)! \\ \Rightarrow 5!=(10-r)!\\ \Rightarrow 5=10-r \\ \Rightarrow r=10-5 \\ \Rightarrow r=5.\,\,$

4. চারটি পুরস্কার $10$ জন ছাত্রের মধ্যে কত রকমে দেওয়া যায় যাতে কোন একজন ছাত্র একাধিক পুরস্কার না পায় ?

 Sol. প্রথম পুরষ্কারটি $\,10\,$ জন ছাত্রের মধ্যে $\,10\,$ রকম ভাবে দেওয়া যায় । প্রথম পুরস্কার দেওয়া হয়ে গেলে, অবশিষ্ট নজন ছাত্রের মধ্যে দ্বিতীয় পুরস্কারটি $\,9\,$ভাবে দেওয়া যেতে পারে। একই ভাবে, তৃতীয় পুরস্কারটি অবশিষ্ট $\,8\,$জন ছাত্রের মধ্যে আট রকমে এবং শেষ পুরস্কারটি অবশিষ্ট $\,7\,$ জন ছাত্রের মধ্যে সাত রকম ভাবে দেওয়া যেতে পারে।  

 সুতরাং নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা =  $10.9.8.7=5040\,$টি । 

অথবা, 

প্রশ্নানুযায়ী $10$ জন ছাত্রের মধ্যে চারটি পুরস্কার যত প্রকারে দেওয়া যায় যাতে কোনো একজন ছাত্র একাধিক পুরস্কার না পায় তার নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = $${}^{10}P_4 \\ =\frac{n!}{(n-k)!} \\ =\frac{10!}{(10-4)!}\\=\frac{10!}{6!}\\ =\frac{10.9.8.7.\color{blue}{6!}}{\color{blue}{6!}}\\ =5040 \,\,\,\text{(ans.)}$$ 

5.  চারজন পথিক কোন এক শহরে গেল যেখানে পাঁচটি হোটেল আছে। কোন দুজন একই হোটেলে না থাকলে তারা কত রকমের হোটেলে থাকতে পারে ?

 Sol. ধরা যাক, চারজন পথিক $\,a,b,c,d.\,$ এখন $\,a\,$ প্রতিটি পাঁচটি হোটেলের যেকোন একটিতে পাঁচ রকম ভাবে থাকতে পারে।  দ্বিতীয় জন অর্থাৎ $\,b\,$ অবশিষ্ট চারটি হোটেল $\,4\,$ ভাবে নির্বাচন করতে পারে। একইভাবে $\,c\,$ অবশিষ্ট 

হোটেল $\,3\,$ রকম এবং $\,d\,$ অবশিষ্ট হোটেল $\,2\,$ রকমে নির্বাচন করতে পারে।

অর্থাৎ, এক্ষেত্রে মোট  বিন্যাস সংখ্যা হয় $=5 \times 4 \times 3 \times 2=120.\\ $

অথবা, 

প্রশ্নানুযায়ী চারজন পথিক পাঁচটি হোটেলে থাকবে । কাজেই দুইজন পথিক একসঙ্গে একই হোটেলে না থেকে বিন্যাস করলে বিন্যাস সংখ্যা হয়

${}^{5}P_4  =\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{5!}{(5-4)!} =\frac{5!}{1!}\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ =\frac{\color{red}{5.4.3.2.1}}{1}\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ =\color{blue}{120} \,\,\,\text{(ans.)}$

$\,6.\,$চাঁদপাল ঘাট ও বোটানিক্যাল গার্ডেন এর মধ্যে বারোটি ফেরি স্টিমার যাতায়াত করে। এক ব্যক্তি কত রকমে চাঁদপাল ঘাট থেকে বোটানিক্যাল গার্ডেনে  গিয়ে অন্য একটি স্টিমারে ফিরতে পারে ?

Sol. স্পষ্টতই প্রশ্নানুযায়ী প্রত্যেকবার যাওয়া এবং আসার জন্য দুটি স্টিমারের প্রয়োজন। কাজেই $12$ টি স্টিমার দ্বারা প্রাপ্ত যাওয়া ও আসার সংখ্যা =

${}^{12}P_2=\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{12!}{(12-2)!}\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\frac{12!}{10!}\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\frac{12.11.\color{red}{10!}}{\color{red}{10!}}\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\color{blue}{132} \,\,\,\text{(ans)}$

To download Chhaya math solution PDF of Permutation chapter, class XI ,  click here .

 $\,7.\,$  একটি শাখা রেলপথে মোট 12 টি স্টেশন আছে। কতগুলি বিভিন্ন দ্বিতীয় শ্রেণীর টিকিট মুদ্রিত করলে এক স্টেশন থেকে অন্য স্টেশনে যাওয়া যাবে ?

 Sol. স্পষ্টতই প্রশ্নানুযায়ী বারোটি স্টেশনের মধ্যে এক স্টেশন থেকে অন্য স্টেশনে যাওয়ার জন্য মুদ্রিত টিকিটের বিন্যাস সংখ্যা

$${}^{12}P_2=\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{12!}{(12-2)!}\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\frac{12!}{10!}\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\frac{12.11.\color{red}{10!}}{\color{red}{10!}}\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\color{blue}{132} \,\,\,\text{(ans)}$$ 

8.  BENGALI শব্দের অক্ষরগুলির সবগুলি একযোগে নিয়ে কতগুলি বিন্যাস পাওয়া যায়?

 Sol.  BENGALI শব্দটিতে $7$ টি অক্ষর আছে এবং অক্ষরগুলি বিভিন্ন । কাজেই BENGALI শব্দের অক্ষরগুলি সবগুলি একযোগে নিয়ে বিন্যস্ত করলে বিন্যাস সংখ্যা হয়  $={}^{7}P_7=\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{7!}{(7-7)!}\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\frac{7!}{0!}\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\frac{7.6.5.4.3.2.1}{1}\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\color{blue}{5040} \,\,\,\text{(ans)}$ 

$\,9.\,$ DRAUGHT শব্দটির অক্ষরসমূহ কত বিভিন্ন উপায়ে বিন্যস্ত করা যায় যাতে স্বরবর্ণ গুলি সর্বদা একত্রে থাকে? 

Sol. DRAUGHT  শব্দটিতে মোট সাতটি  বর্ণ(Letter) আছে। তার মধ্যে দুটি স্বরবর্ণ/vowel আছে। যথাঃ A এবং U.

     এই দুটি স্বরবর্ণকে একটি বর্ণ/letter ধরলে মোট বর্ণের সংখ্যা হয়= ৬ টি । এই ৬ টি বর্ণকে নিজেদের মধ্যে $\,\,{}^6P_6\,=6!$ প্রকারে বিন্যস্ত করা যায়। আবার দুটি স্বরবর্ণকে নিজেদের মধ্যে $\,\,{}^2P_2=2!\,\,$  প্রকারে বিন্যস্ত করা যায় । 

কাজেই নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা= $\,\, 6! \times 2!= 720 \times 2= 1440$ 

 $10.~~~~\,\,2,4,6,8,9\,\,$অংক গুলি সাহায্যে $\,100\,$ ও $\,1000\,$-এর মধ্যবর্তী কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যায় যদি প্রত্যেক সংখ্যায় যে কোন অংক কেবল মাত্র একবারই ব্যবহৃত হয়?

Sol. প্রশ্ন অনুযায়ী এখানে মোট অংক সংখ্যা= $5$ টি। $\,100\,$ ও $\,1000\,$-এর মধ্যবর্তী সংখ্যাগুলো তিন অঙ্ক বিশিষ্ট। সুতরাং, এই পাঁচটি অংক নিয়ে তিন অংক বিশিষ্ট মোট $\,P^5_3=\frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5.4.3.2!}{2!}=5.4.3=60\,$ টি সংখ্যা গঠন করা যায়।