Permutation | বিন্যাস | S N De Maths Solution | Part-2

 

11. নিম্নলিখিত শব্দ গুলির অক্ষরসমূহ কে কত বিভিন্ন উপায়ে বিন্যস্ত করা যায় তা নির্ণয় করো।

$\,(i)\, COMMERCE\,\,$

Sol. $\,(i)\, COMMERCE\,\,$

 Letters (Numbers)=Total  

 $\,C(2),\,\,0(1),\,\, M (2),\,\,E(2),\,\, R(1)\\=2+1+2+2+1=8$     

সুতরাং  শব্দটির অক্ষরগুলোর নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা হল $=\,\frac{8!}{2! \times 2! \times 2! }=\frac{8.7!}{8}=7!=\color{blue}{5040}.\,$

 $\,(ii)\,  ACCOUNTANT\,$

Sol. $\,(ii)\, \,ACCOUNTANT\,\,$

 Letters (Numbers)=Total  

 $\,A(2),\,\,C(2),\,\, O (1),\,\,U(1),\,\, N(2),\,T(2)\\=2+2+1+1+2+2=10$     

সুতরাং  শব্দটির অক্ষরগুলোর নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা হল $=\,\frac{10!}{2! \times 2! \times 2! \times 2!}=\color{blue}{22680}.\,$

$\,(iii)\, ENGINEERING\,\,$

Sol. $\,(iii)\, ENGINEERING\,\,$

 Letters (Numbers)=Total  

 $\,E(3),\,\,N(3),\,\, G(2),\,\,I(2),\,\, R(1)\\=3+3+2+2+1=11$     

সুতরাং  শব্দটির অক্ষরগুলোর নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা হল

 $=\,\frac{11!}{3! \times 3! \times 2! \times 2!}\\=\frac{11.10.9.8.7!}{9.8.2}\\=55\times 7!\\=\color{blue}{277200}.\,$

$\,(iv)\,  STATISTICS\,$

Sol. $\,(iv)\, \,STATISTICS\,\,$

 Letters (Numbers)=Total  

 $\,S(3),\,\,T(3),\,\, A(1),\,\,I(2),\,\, C(1) \\=3+3+1+2+1=10$     

সুতরাং  শব্দটির অক্ষরগুলোর নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা হল 

$=\,\frac{10!}{3! \times 3! \times 2! }\\=\frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{9 \cdot 8}\\=10 \times 5040\\=\color{blue}{50400}.\,$

$\,(v)\,  SUCCESS\,$

Sol. $\,(v)\, SUCCESS\,\,$

 Letters (Numbers)=Total  

 $\,S(3),\,\,U(1),\,\, C(2),\,\,E(1)\\=3+1+2+1=7$     

সুতরাং  শব্দটির অক্ষরগুলোর নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা হল 

$=\,\frac{7!}{3! \times 2! }\\=\frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2}\\=\color{blue}{420}.\,$

 $12.\,\,\textbf{GAVASKAR}\,\,$ নামের অক্ষর গুলো কত রকম ভাবে বিন্যস্ত করা যায় যাতে তিনটি $\,A\,$ সর্বদা একত্রে থাকে?

Sol. $\,\,\textbf{GAVASKAR}\,\,$  তিনটি $\,A\,$কে একটি অক্ষর ধরা হলে মোট $\,3!=6\,$ টি অক্ষর পাওয়া যায়। সুতরাং এই ছটি অক্ষরের(letter) সবগুলিকে একত্রে নিয়ে মোট বিন্যাস সংখ্যা$=P^6_6=6!=720.\,\,$ 

সুতরাং $\,\,\textbf{GAVASKAR}\,\,$ নামের অক্ষর গুলো $\,720\,$ রকম ভাবে বিন্যস্ত করা যায় যাতে তিনটি $\,A\,$ সর্বদা একত্রে থাকে।

$\,13.\,$  পরপর তিনটি ফুটবল খেলার ফলাফল কত উপায় হতে পারে?

Sol. আমরা জানি, যদি $\,n\,$ সংখ্যক বস্তুর মধ্যে প্রত্যেকটি বস্তু যদি $\,r\,$ পর্যন্ত বারবার আসে, তবে $\,n\,$-সংখ্যক বস্তু থেকে একযোগে $\,r\,$ সংখ্যক বস্তুর বিন্যাস সংখ্যা =$n^r$.

এক্ষেত্রে, $\,n=3\,\,; \,r=3$. কারন, যেকোন ফুটবল খেলার ফলাফল তিনটি হতে পারে, যথাঃ হার, জিত বা ড্র। সুতরাং, পরপর তিনটি ফুটবল খেলার ফলাফল যত উপায়ে হতে পারে তা হল= $3^3=27.$  

14.  চারটি ডাকবাক্সে পাঁচটি চিঠি কত রকমে ফেলা যায়?

 Sol.   আমরা জানি, যদি $\,n\,$ সংখ্যক বস্তুর মধ্যে প্রত্যেকটি বস্তু যদি $\,r\,$ পর্যন্ত বারবার আসে, তবে $\,n\,$-সংখ্যক বস্তু থেকে একযোগে $\,r\,$ সংখ্যক বস্তুর বিন্যাস সংখ্যা =$n^r$.এক্ষেত্রে, $\,n=4; \,r=5$. কারন, প্রতিটি চিঠি চারটি ডাকবাক্সে  $\,4\,$ রকমে ফেলা যায়।সুতরাং,পাঁচটি চিঠি  চারটি ডাকবাক্সে  $\,4 \times 4 \times 4 \times 4\times 4=4^5=1024\,$ রকমে ফেলা যায় । 

15.  চারটি পুরস্কার - একটি আবৃত্তির জন্য, একটি খেলাধুলার জন্য, একটি সাহসিকতার জন্য এবং একটি সাধারণ মেধার জন্য $\,8\,$ জন বালকের মধ্যে কত উপায়ে দেওয়া যায়?

Sol. প্রশ্ন অনুযায়ী, এক্ষেত্রে প্রতিটি বালক চারটি করে পুরস্কার পেতে পারে । সুতরাং $\,8\,$ জন বালক মোট $=8^4=4096$ উপায়ে পুরস্কার গুলো অর্জন করতে পারে।

 $16. \,1,2,3,4,5,,6,7,8,9\,$ এই অংক গুলি দিয়ে  তিন অংক বিশিষ্ট কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায়?[ একই অংক একাধিকবার প্রয়োগ করা যেতে পারে].

 Solution. স্পষ্টতই 3 অংক বিশিষ্ট সংখ্যাটির তিনটি স্থান আছে। যথাঃ একক স্থানীয় অঙ্ক, দশকে স্থানীয় অঙ্ক এবং শতক স্থানীয় অঙ্ক ।  প্রতিটি স্থান নটি অংক দ্বারা নয় প্রকারে বিন্যস্ত করা যেতে পারে । সুতরাং , $\,1,2,3,4,5,6,7,8,9\,$ এই অংক গুলি দিয়ে 3 অংক বিশিষ্ট যতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায় তা হল =$9 \times 9 \times 9=9^3=729.$

17. একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রাকে পরপর পাঁচবার টস করা হলে কতগুলি বিভিন্ন ফল সম্ভব? 

Sol.  $\quad$ প্রতিটি টস এর ক্ষেত্রে, দু'রকম ফলাফল পাওয়া সম্ভব। যথাঃ হেড এবং টেল।  সুতরাং পাঁচবার টস করার ক্ষেত্রে মোট $\,2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot2 \cdot 2=2^5=32\,$ টি বিভিন্ন  ফল সম্ভব;

18. ঝোঁক-শূন্য একটি ছক্কাকে পরপর চারবার নিক্ষেপ করা হলো। কতগুলি বিভিন্ন ফল সম্ভব?

 Sol.$\quad$ এক্ষেত্রে প্রতিটি ছক্কাকে পরপর চারবার নিক্ষেপ করা হলে, প্রতিক্ষেত্রে $\,6\,$ রকম ফলাফল সম্ভব।  সুতরাং চারবার নিক্ষেপের ক্ষেত্রে মোট $=6 \times 6 \times 6 \times 6 =1296\,\, $ টি বিভিন্ন ফল সম্ভব।