Permutation | বিন্যাস | S N De Maths Solution | Part-3

  আমরা এই অধ্যায়ে বিন্যাস সংক্রান্ত সংক্ষিপ্ত উত্তর ধর্মী প্রশ্নোত্তর (S N De Maths , Chhaya Publisher ) আলোচনা করব । তাহলে চলো শুরু করা যাক । 

$1.~~~~~~\,n\,$ ও  $\,r\,$-এর মান নির্ণয় কর, যখন $\,{}^{n+r}P_2=110,\,\,{}^{n-r}P_2=20\,$

 Sol.  $~~~~~~\,{}^{n+r}P_2=110 \\ \Rightarrow \frac{(n+r)!}{(n+r-2)!}=110 \\\Rightarrow\frac{(n+r)(n+r-1)(n+r-2)!}{(n+r-2)!}=110 \rightarrow (1)$

$\,{}^{n-r}P_2=20 \\\Rightarrow \frac{(n-r)!}{(n-r-2)!}=20 \\ \Rightarrow \frac{(n-r)(n-r-1)(n-r-2)!}{(n-r-2)!}=20 \rightarrow (2)$

$\,(1)\,$ নং থেকে পাই, 

$\,\color{blue}{(n+r)}(n+r-1)\\ =110=\color{blue}{11} \times 10 \rightarrow (3)$

$\,(2)\,$ নং থেকে পাই, 

$\,\color{blue}{(n-r)}(n-r-1)\\ =20=\color{blue}{5} \times 4 \rightarrow (4)$

$\,(3)\,$ ও $\,(4)\,$ নং থেকে পাই, $\,n+r=11 \rightarrow (5)$ ও 

$  n-r=5 \rightarrow (6)$

$\,(5)\,$ ও $\,(6)\,$ নং থেকে পাই, $\,n=8, \,\,r=3$  

$\,2.\,$ LOGARITHM শব্দটির অক্ষরগুলিকে কত বিভিন্ন রকমের সাজানো যায়?  এদের মধ্যে কতগুলি $\,L\,$ দ্বারা শুরু হয়? কতগুলি $\,L\,$  দ্বারা শুরু হয় কিন্তু $\,M\,$  দ্বারা শেষ হয় না ?

Sol.   LOGARITHM  শব্দটির মধ্যে নটি অক্ষর/Letter আছে এবং অক্ষরগুলি বিভিন্ন। LOGARITHM  শব্দের সবগুলি অক্ষর নিয়ে ${}^9P_9$ বা $\,\,9!$ বা $\,\,\color{blue}{362880}$ বিভিন্ন প্রকারের সাজানো যায়। 

   এখন যে কয়টি শব্দ L দিয়ে আরম্ভ হবে তা নির্ণয়ের জন্য L কে প্রথম স্থানে বসালাম । স্পষ্টতই অবশিষ্ট আটটি স্থানে অবশিষ্ট ৮ টি অক্ষর $\,\,{}^8P_8\,\,$ বা$\,\, 8!\,\,$ বা $\,\,\color{red}{40320}\,\,$ প্রকারে সাজানো যাবে। সুতরাং যে কয়টি শব্দ L দিয়ে শুরু হয় তার সংখ্যা হয় $\,\, \color{red}{40320}$.

  আবার যে কয়টি শব্দ L দিয়ে শুরু হয় এবং M শেষ হয় তার সংখ্যা $\,\,{}^7P_7\, =7!=\color{red}{5040}\,\,$  কারণ  L ও M কে যথাক্রমে প্রথম ও শেষ স্থানে স্থির রাখলে অবশিষ্ট ৭ টি অক্ষরকে মধ্যবর্তী ৭ টি স্থানে রেখে $\,\,7!\,\,$ প্রকারে সাজানো যায়। 

  সুতরাং L দিয়ে শুরু হয় কিন্তু M দিয়ে শেষ হয় না এইরূপ শব্দের সংখ্যা = $\color{blue}{40320}-\color{red}{5040}=35280$

$\,3.\,$ BENGAL শব্দের অক্ষরগুলি কত বিভিন্ন উপায়ে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণ দুটি কখনোই একত্রে না থাকে ?

 Sol.   BENGAL শব্দের 6 টি বর্ণ আছে।  তার মধ্যে দুটি স্বরবর্ণ। যথাঃ E এবং A.  এই দুটি স্বরবর্ণকে একটি বর্ণ ধরলে, মোট বর্ণের সংখ্যা হয় পাঁচটি । এই পাঁচটি বর্ণকে নিজেদের মধ্যে $\,\,{}^5P_5=5!\,\,$ প্রকারে বিন্যস্ত করা যায় । আবার দুটি স্বরবর্ণকে নিজেদের মধ্যে $2!$ প্রকারে সাজানো যায় । কাজেই যে কয়টি শব্দে স্বরবর্ণ দুটি একত্রে থাকবে তার সংখ্যা $\,\, 5! \times 2!=120 \times 2 =240.$

  BENGAL শব্দের 6 টি বর্ণের সবগুলোকে নিজেদের মধ্যে $6!$ প্রকারে বিন্যস্ত করা যায়, যেখানে স্বরবর্ণ গুলি একত্রে থাকতে পারে আবার নাও থাকতে পারে।  সুতরাং যতগুলো বিন্যাসে স্বরবর্ণ ২ টি একত্রে থাকে না তার সংখ্যা= $6!-240=720-240=480.$

$\,4.\,$ STRANGE শব্দের অক্ষরগুলি কত বিভিন্ন উপায়ে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণ গুলি সর্বদা অযুগ্ম স্থানে থাকে ?

 Sol. যেহেতু STRANGE শব্দটির সাতটি বিভিন্ন বর্ণকে 7 টি স্থানে বিন্যস্ত করা হয়, সুতরাং এই শব্দটিতে  চারটি অযুগ্ম স্থান (যথাঃ প্রথম, তৃতীয়, পঞ্চম ও সপ্তম) আছে।  এই চারটি অযুগ্ম স্থানে দুটি স্বরবর্ণ (যথাঃ A, E) কে $\,\,{}^4P_2\,\,$ বা $\,\,\frac{4!}{(4-2)!}$ বা $\,12\,$ প্রকারে বিন্যস্ত করা যায় এবং এই $12$ প্রকার বিন্যাসের প্রত্যেকটির ক্ষেত্রে অবশিষ্ট $5$ টি স্থানে পাঁচটি বিভিন্ন ব্যঞ্জনবর $\,\,{}^5P_5\,\,$ বা $\,\,5!\,\,$ বা $\,\,120\,\,$  প্রকারে বিন্যাস করা যায়।

 সুতরাং স্বরবর্ণদ্বয়কে অযুগ্ম স্থানে রেখে STRANGE শব্দটির নির্ণেয়  বিন্যাস সংখ্যা = $\,12 \times 120\,=1440$

$\,5.\,$ JUXTAPOSED শব্দের অক্ষর গুলির সবগুলোই নিয়ে বিন্যাস করলে কতগুলি বিন্যাসে স্বরবর্ণ চারটি একত্রে থাকবে? 

Sol. JUXTAPOSED শব্দের অক্ষরের সংখ্যা $\,10\,$ টি । তার মধ্যে চারটি স্বরবর্ণ $\, (U,A,O,E)\,$ আছে । এই চারটি স্বরবর্ণ কে একটি অক্ষর ধরলে অক্ষরের সংখ্যা হয় সাতটি।  এই সাতটি অক্ষরকে নিজেদের মধ্যে ${}^7P_7\,$ বা $\,\, 7!\,\,$ প্রকারে বিন্যস্ত করা যায় । আবার চারটি স্বরবর্ণকে নিজেদের মধ্যে  ${}^4P_4\,$ বা $\,\, 4!\,\,$  প্রকারে বিন্যস্ত করা যায়। কাজেই নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = $7! \times 4!=5040 \times 24 =120960.$

$\,6.\,$ দেখাও যে $\,n\,$ সংখ্যক বইকে যত রকমে একটি তাকে সাজানো যায়, যাতে দুটি নির্দিষ্ট বই কখনো একত্রে না থাকে তা হল $\,\,(n-2)(n-1)!$ 

Sol. কোন বাধ্যবাধকতা না থাকলে একটি তাকে $\,n\,$ সংখ্যক বইকে নিজেদের মধ্যে $\,{}^nP_n=n!\,$ প্রকারে বিন্যস্ত করা যায়। সুতরাং নির্দিষ্ট বই দুটিকে একটি বই ধরলে বইয়ের সংখ্যা হয় $\,(n-2+1)=(n-1).\,$ এই $\,(n-1)\,$সংখ্যক বইগুলিকে তাদের নিজেদের মধ্যে $\,{}^{n-1}P_{n-1}=(n-1)!\,$ প্রকারে বিন্যস্ত করা যায়।  আবার নির্দিষ্ট বই দুটিকে নিজেদের মধ্যে $\,2!\,$ প্রকারে বিন্যস্ত করা যায়।  সুতরাং যতগুলো বিন্যাসে এই নির্দিষ্ট বই দুটি একত্রে থাকবে তার সংখ্যা হল $\,=(n-1)! \times 2!$.  

অতএব যতগুলো বিন্যাসে এই ওই নির্দিষ্ট বই দুটি একত্রে থাকবে না তার সংখ্যা হল $\\=n!-(n-1)! \times 2!\\=n(n-1)!-(n-1)! \times 2 \\=(n-1)! \times(n-2)\\=(n-2)(n-1)!$

 $7.\,\,3\,$ জন বালককে একত্রে রেখে $\,3\,$ জন বালক এবং $\,5\,$ জন বালিকাকে কত রকম ভাবে এক সারিতে সাজানো যায়? 

 Sol. $\,3\,$ জন বালক কে একজন বালক ধরলে বালক এবং বালিকা সংখ্যা দাঁড়ায় $\,=1+5=6\,$ জন।  এই ছয়জনকে নিজেদের মধ্যে একটি সারিতে $\,6!\,$ প্রকারের বিন্যস্ত করা যায়। আবার ওই তিনজন বালককে নিজেদের মধ্যে $\,3!\,$ প্রকারে বিন্যস্ত করা যায়। 

সুতরাং যতগুলো বিন্যাসে একটি সারিতে $\,3\,$ জন ছাত্র একত্রে থাকতে পারে তার সংখ্যা হল$=\,6! \times 3!=720 \times 6=\color{blue}{4320}.\,$

 $8.~~~~~4$ জন বালক এবং $3$ জন বালিকাকে এক সারিতে কত রকমের সাজানো যেতে পারে যাতে কোন দুজন বালিকা কখনোই পাশাপাশি না থাকে ?

 Sol. এক সারিতে $4$ জন বালকের আশেপাশে মোট পাঁচটি বসার স্থান আছে ।  ওই $\,5\,$ টি স্থানে তিন জন বালিকাকে $\,{}^5P_3\,$ প্রকারে বিন্যস্ত করা যাবে । আবার চারজন বালককে নিজেদের মধ্যে $\,{}^4P_4\,$ বা $\,4!\,$  প্রকারে বিন্যস্ত করা যায় । অতএব নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = ${}^5P_3 \times 4! =\frac{5!}{(5-3)!} \times 4.3.2! =5! \times 4.3=120 \times 12 =1440$

$9.~~\,\,VENUS\,\,$  শব্দটির অক্ষরগুলি সবগুলি কে একযোগে নিয়ে কতগুলি বিন্যাস গঠন করা যায় যাতে স্বরবর্ণগুলির   ক্রম অপরিবর্তিত থাকে?

Sol. কোন বাধ্যবাধকতা না থাকলে $\,\,VENUS\,\,$ শব্দটির পাঁচটি অক্ষরকে নিজেদের মধ্যে $\,\,{}^5P_5=5!\,\,$ প্রকারে বিন্যস্ত করা যাবে। 

সুতরাং যে বিন্যাসগুলিতে স্বরবর্ণগুলির ক্রম অপরিবর্তিত থাকবে (অর্থাৎ E সর্বদা U এর আগে অবস্থান করবে ) তাদের সংখ্যা= $\frac{5!}{2}=\frac{120}{2}=60$

 $10.\,\,2,4,5,,7,8,0\,\,$ অংকগুলির সাহায্যে চার অংক বিশিষ্ট কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যেতে পারে যাদের প্রত্যেকটিতে অংকগুলি বিভিন্ন হবে?

 Sol. কোন বাধ্যবাধকতা না থাকলে এই ছটি অংক হতে $4$ টিকে একযোগে নিয়ে সংখ্যা গঠন করলে গঠিত সংখ্যা $\,{}^6P_4\,\,$ হবে । এই সংখ্যাগুলোর মধ্যে কতগুলি সংখ্যা $\,\,0\,\,$ দিয়ে আরম্ভ হচ্ছে তা দেখতে হবে।  প্রথম স্থানে $\,0\,$ থাকলে বাকি তিনটি স্থানে অবশিষ্ট পাঁচটি অঙ্ক দ্বারা $\,\,{}^5P_3\,\,$ প্রকারে সাজানো যেতে পারে । সুতরাং নির্ণেয় গঠিত সংখ্যার সংখ্যা হবে 

$={}^6P_4-{}^5P_3\\= \frac{6!}{(6-4)!}-\frac{5!}{(5-3)!}\\=\frac{6!}{2!}-\frac{5!}{2!}\\=6\cdot5 \cdot 4\cdot 3-5\cdot 4\cdot 3\\=360-60\\=300$

$\,11.\,$ একই অংক একাধিকবার ব্যবহার না করে $\,\,1,2,3,4,5,6\,\,$ অংকগুলোর সাহায্যে $\,\,3000\,$ ও $\,\,4000\,\,$ এর মধ্যবর্তী কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায়?

 Sol. $\,\,3000\,$ ও $\,\,4000\,\,$ এর মধ্যবর্তী প্রতিটি সংখ্যাই চার অংক বিশিষ্ট হবে এবং সহস্র স্থানে অতি অবশ্যই $\,3\,$ থাকতে হবে ।  সহস্র  স্থানে $\,3\,$ কে রাখলে অবশিষ্ট তিনটি স্থানে পাঁচটি অংক দ্বারা $\,{}^5P_3\,$প্রকারে বিন্যস্ত করা সম্ভব। 

 কাজেই নির্ণেয় সংখ্যার সংখ্যা  

$={}^5P_3=\frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5!}{2!}=\frac{5.4.3.2!}{2!}=5.4.3=60\,\,\text{(ans)}$