Permutation | বিন্যাস | S N De Maths Solution | Part-7

আমরা এই অধ্যায়ে (S N De Maths , Chhaya Publisher) বিন্যাস সংক্রান্ত  দীর্ঘ উত্তর ধর্মী প্রশ্নোত্তর [Ex- 7A,  Long Ans Type : Qst No. 1-5] আলোচনা করব । 

 

1. $\,n\,$ সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে একযোগে $\,r\,\,$সংখ্যক বস্তুর বিন্যাস সংখ্যা $\,{}^nP_r\,\,$ হলে দেখাও যে, $$\color{blue}{1 +1.{}^1P_1+2.{}^2P_2+3.{}^3P_3+\cdots +n.{}^nP_n \\ ={}^{n+1}P_{n+1}}$$

 Sol. আমরা জানি, $\,{}^{i+1}P_{i+1}=(i+1)!=(i+1)i! \\ =(i+1)\times {}^iP_i=i{}^iP_i+{}^iP_i \\ \Rightarrow {}^{i+1}P_{i+1}-{}^iP_i=i\cdot{}^iP_i\rightarrow(1) $  

 স্পষ্টতই  $\,(1)\,$ নং সম্পর্কটি একটি অভেদ(identity).এখন, $\\ i=1,2,3,........,n\,$ বসিয়ে পাই,  

${}^2P_2-{}^1P_1=1 \times {}^1P_1 \\ {}^3P_3-{}^2P_2=2 \times {}^2P_2 \\ \vdots \\ {}^nP_n-{}^{n-1}P_{n-1}=(n-1) \times {}^{n-1}P_{n-1}\\  {}^{n+1}P_{n+1}-{}^nP_n=n \times {}^nP_n $  

যোগ করে পাই,

 $\,\,{}^{n+1}P_{n+1}-{}^1P_1= 1 \times {}^1P_1+2 \times {}^2P_2\\+ \cdots +n \times {}^nP_n \\ \Rightarrow \color{blue}{1 +1.{}^1P_1+2.{}^2P_2+3.{}^3P_3 \\ +\cdots +n.{}^nP_n={}^{n+1}P_{n+1}}$

$2.~~~$ যদি $\,\,\frac{{}^nP_{r-1}}{a}=\frac{{}^nP_{r}}{b}=\frac{{}^nP_{r+1}}{c}\,\,$ হয়, দেখাও যে, $b^2=a(b+c).$

Sol. $\frac1a \times {}^nP_{r-1}=\frac1b \times {}^nP_r \\  \Rightarrow \frac{n!}{a(n-r+1)!}=\frac{n!}{b(n-r)!} \\  \Rightarrow \frac{1}{a(n-r+1)}=\frac{1}{b}\rightarrow(1)$ 

একই ভাবে,  $\frac1c \times {}^nP_{r+1}=\frac1b \times {}^nP_r \\  \Rightarrow \frac{1}{c}=\frac{1}{b(n-r)} \\  \Rightarrow  (n-r)=\frac{c}{b}\rightarrow(2)$

$\,(1)\,$ ও $\,(2)\,$ থেকে পাই, 

$\,\,\frac{1}{a(\frac cb +1)}=\frac 1b  \\ \Rightarrow b^2=a(b+c)$

3. প্রমাণ করো যে $\,n\,$ সংখ্যক জিনিসের সবগুলি একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার যত গুলিতে নির্দিষ্ট $\,m\,$ সংখ্যক বস্তু কখনো পাশাপাশি না থাকে তার সংখ্যা হয় $\,n!-m! \times (n-m+1)!\,$

 Sol. $\,n\,$ সংখ্যক জিনিসের সবগুলি কে একত্রে নিয়ে এমনভাবে বিন্যাস করতে হবে যাতে নির্দিষ্ট $\,m\,$ সংখ্যক জিনিস কখনো পাশাপাশি থাকবে না।  কোনো বাধ্যবাধকতা না থাকলে বা কোন শর্ত আরোপিত না থাকলে $\,n\,$ সংখ্যক নির্দিষ্ট জিনিসকে $\,{}^nP_n=n!\,$ প্রকারে বিন্যস্ত করা সম্ভব।  সুতরাং $\,m\,$ সংখ্যক নির্দিষ্ট জিনিসকে একটি জিনিস ধরলে জিনিসের সংখ্যা হয় $\,n-m+1.\,$  এই সংখ্যক জিনিসগুলোকে নিজেদের মধ্যে $\,{}^{n-m+1}P_{n-m+1}=(n-m+1)!\,$ প্রকারে বিন্যস্ত করা যাবে। আবার $\,m\,$ সংখ্যক নির্দিষ্ট জিনিসকে নিজেদের মধ্যে $\,m!\,$ প্রকারে বিন্যস্ত করা 

যাবে। সুতরাং যে বিন্যাসগুলোতে নির্দিষ্ট $\,m\,$ সংখ্যক জিনিস পাশাপাশি থাকবে তাদের সংখ্যা হল $=\,m! \times (n-m+1)!\,$  

কাজেই যে বিন্যাস গুলিতে $\,m\,$ সংখ্যক নির্দিষ্ট জিনিস পাশাপাশি থাকবে না তার সংখ্যা হল $=\,n!-m! \times (n-m+1)!\,$

4. একই অংক একাধিকবার ব্যবহার না করে $\,\,2,3,4,5,6,7\,$ এই অংকগুলোর সাহায্যে $\,\,999\,\,$ অপেক্ষা ছোট এবং $\,2\,$ দ্বারা বিভাজ্য যতগুলো সংখ্যা গঠন করা যায় তার সংখ্যা নির্ণয় করো।

 Sol.  স্পষ্টতই $\,\,999\,\,$ অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর সংখ্যা (i)$\,1\,$ অংকবিশিষ্ট (ii)$\,2\,$ অংকবিশিষ্ট অথবা (iii)$\,3\,$ অংক বিশিষ্ট হতে পারে।

(i) এখন এক অংক বিশিষ্ট সংখ্যা হতে পারে, কারণ ছটি অংক প্রদত্ত। প্রদত্ত 6 টি অংকের মধ্যে তিনটি অঙ্ক $\,2\,$ দ্বারা বিভাজ্য।

(ii) $\,2\,$ দ্বারা বিভাজ্য দুই অংক বিশিষ্ট সংখ্যা গঠনের ক্ষেত্রে একক স্থানে অতি অবশ্যই $\,2,4\,$ অথবা $\,6\,$ কে বসাতে হবে।

$\,2\,$ কে একক স্থানে বসালে গঠিত সংখ্যার সংখ্যা=$\,{}^5P_1$  

অনুরুপে $\,4\,$ কে একক স্থানে বসালে গঠিত সংখ্যার সংখ্যা=$\,{}^5P_1$                 

এবং $\, 6\,$ কে একক স্থানে বসালে গঠিত সংখ্যার সংখ্যা=$\,{}^5P_1$ 

অতএব $\,2\,$ দ্বারা বিভাজ্য দুই অংক বিশিষ্ট সংখ্যার সংখ্যা 

$={}^5P_1+{}^5P_1+{}^5P_1\\=3 \times \frac{5}{(5-1)!}\\=3 \times \frac{5.4!}{4!}\\=3 \times 5\\=15$

$\,2\,$ দ্বারা বিভাজ্য $\,3\,$  অংকবিশিষ্ট সংখ্যা গঠনের ক্ষেত্রে একক স্থানে অতি অবশ্যই $\,2,4\,$অথবা $\,6\,$ কে বসাতে হবে। $\,2\,$ দ্বারা বিভাজ্য $\,3\,$  অংকবিশিষ্ট সংখ্যা গঠনের ক্ষেত্রে একক স্থানে $\,2\,$ কে বসালে বাকি পাঁচটি অঙ্ককে দুটি স্থানে $\,{}^5P_2\,$ প্রকারে সাজানো যায়।

 $\,2\,$ কে একক স্থানে বসালে গঠিত সংখ্যার সংখ্যা=$\,{}^5P_2$  

অনুরুপে $\,4\,$ কে একক স্থানে বসালে গঠিত সংখ্যার সংখ্যা=$\,{}^5P_2$                 

এবং $\, 6\,$ কে একক স্থানে বসালে গঠিত সংখ্যার সংখ্যা=$\,{}^5P_2$ 

সুতরাং $\,2\,$ দ্বারা বিভাজ্য $\,3\,$ অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যার সংখ্যা 

 $={}^5P_2+{}^5P_2+{}^5P_2 \\=3 \times {}^5P_2 \\=3 \times \frac{5!}{(5-2)!}\\=3 \times \frac{5.4.3!}{3!}\\=60.$ 

একই অংক একাধিকবার ব্যবহার না করে $\,\,2,3,4,5,6,7\,$ এই অংকগুলোর সাহায্যে $\,\,999\,\,$ অপেক্ষা ছোট এবং $\,2\,$ দ্বারা বিভাজ্য যতগুলো সংখ্যা গঠন করা যায় তার সংখ্যা= $3+15+60=78.$

$5.~~~~\,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\,\,$ অংকগুলির সাহায্যে $\,1000\,\,$ অপেক্ষা ছোট এবং $\,5\,$ দ্বারা বিভাজ্য যতগুলো সংখ্যা গঠন করা যায় তার সংখ্যা নির্ণয় করো, কোন সংখ্যায় কোন অংক একবারের বেশি থাকবে না?

 Sol.  স্পষ্টতই  $\,1000\,\,$ অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর সংখ্যা  $(i)~~\,1\,$অঙ্কবিশিষ্ট $(ii)~~~\,2\,$ অঙ্কবিশিষ্ট অথবা $(iii)~~~\,3\,$ অংক বিশিষ্ট হতে পারে। 

$(i)~~~~\,1\,$ অঙ্কবিশিষ্ট $\,5\,$  দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যার সংখ্যা হবে একটি। যথাঃ $\,5\,$.

$(ii)~~~\,5\,$  দ্বারা বিভাজ্য দুই অংক বিশিষ্ট সংখ্যা গঠনের ক্ষেত্রে একই স্থানে অতি অবশ্যই $\,0\,$ কিংবা $\,5\,$  কে বসাতে হবে।

 দুই অংক বিশিষ্ট সংখ্যা গঠনের ক্ষেত্রে একক স্থানে $\,5\,$  রাখলে গঠিত সংখ্যার সংখ্যা হবে=$\,{}^9P_1-1\,$ টি  কেননা এক্ষেত্রে দশকের স্থানে শূন্য থাকার ক্ষেত্রটি বাদ দিতে হবে।

আবার একক খানে শূন্যকে রাখলে গঠিত সংখ্যার সংখ্যা হবে= $\,{}^9P_1\,$ টি । 

এতদিন সুতরাং $\,5\,$ দ্বারা বিভাজ্য দুই অংক বিশিষ্ট সংখ্যার সংখ্যা হবে=

$~~{}^9P_1-1+{}^9P_1\\=2 \times {}^9P_1-1\\=2 \times \frac{9!}{(9-1)!}-1\\=2 \times \frac{9.8!}{8!}-1\\=2 \times 9-1\\=18-1\\=17$

(iii) $\,5\,$ দ্বারা বিভাজ্য $\,3\,$ অংকবিশিষ্ট সংখ্যা গঠনের ক্ষেত্রে একক স্থানে অতি অবশ্যই $\,0\,$ কিংবা $\,5\,$ কে রাখতে হবে।   $\,5\,$ অংক বিশিষ্ট সংখ্যা গঠনের ক্ষেত্রে একক স্থানে $\,5\,$ কে রাখলে গঠিত সংখ্যার সংখ্যা= $({}^9P_2-{}^8P_1)\,\,$ কেননা এক্ষেত্রে শতকের স্থানে শূন্য আসার ক্ষেত্রগুলো বাদ দিতে হয়।

আবার একক স্থানে শূন্য বসালে গঠিত সংখ্যার সংখ্যা=$\,{}^9P_2\,$

সুতরাং $\,5\,$ দ্বারা বিভাজ্য $\,3\,$ অংকবিশিষ্ট সংখ্যার সংখ্যা= 5 দ্বারা বিভাজ্য হাজার অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর সংখ্যার সংখ্যা $={}^9P_2-{}^8P_1+{}^9P_2\\=2 \times {}^9P_2-{}^8P_1\\=2 \times \frac{9!}{(9-2)!}-\frac{8!}{(8-1)!}\\=2 \times \frac{9.8.7!}{7!}-\frac{8\cdot 7!}{7!}\\=2\cdot 9\cdot 8-8\\=144-8\\=136$

সুতরাং $\,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\,\,$ অংকগুলির সাহায্যে $\,1000\,\,$ অপেক্ষা ছোট এবং $\,5\,$ দ্বারা বিভাজ্য যতগুলো সংখ্যা গঠন করা যায় তার সংখ্যা $=1+17+136=\color{blue}{154}$