Permutation | বিন্যাস | S N De Maths Solution | Part-6

 

 $31.~~~\,6\,$ অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলি বিভিন্ন যুগ্ম সংখ্যা শুধুমাত্র $\,2,3,5,3,4,5\,$ অংক দ্বারা গঠন করা যায়? 

 Sol. স্পষ্টতই যুগ্ম সংখ্যা গঠন করতে গেলে  $\,6\,$ অংক বিশিষ্ট সংখ্যার এককের ঘরের অংকে $\,2\,$ অথবা $\,4\,$ থাকতে হবে।

 এখন  $\,2\,$ কে এককের ঘরে রাখলে বাকি পাঁচটি সংখ্যার মধ্যে দুটি $\,3\,$এবং দুটি $\,5\,$ আছে। 

 সুতরাং $\,2\,$ কে এককের ঘরে রেখে গঠিত ছয় অঙ্কের সংখ্যার সংখ্যা =$\,\frac{5!}{2! \times 2!}.\,$  

 একইভাবে, $\,4\,$ কে এককের ঘরে রেখে গঠিত ছয় অঙ্কের সংখ্যার সংখ্যা =$\,\frac{5!}{2! \times 2!}.\,$

 সুতরাং, $\,6\,$ অঙ্কবিশিষ্ট যতগুলি বিভিন্ন যুগ্ম সংখ্যা শুধুমাত্র $\,2,3,5,3,4,5\,$ অংক দ্বারা গঠন করা যায় তা হল= $\,\frac{5!}{2! \times 2!}\,$ +$\,\frac{5!}{2! \times 2!}=30+30=60.\,$

 $ 32.~~~~\,0,1,2,3,4\,$ অংক গুলির সাহায্যে $\,3000\,$ ও $\,4000\,$ এর মধ্যবর্তী কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায় (একই অংক একাধিকবার প্রয়োগ করা যেতে পারে)। 

 Sol. $\quad$ চার অংক বিশিষ্ট সংখ্যার ক্ষেত্রে, চারটি ঘর আছে । যথাঃ এককের ঘর, দশকের ঘর, শতকের ঘর এবং হাজারের ঘর।  স্পষ্টতই এক্ষেত্রে প্রশ্ন অনুযায়ী, $\,3000\,$ ও $\,4000\,$ এর মধ্যবর্তী সংখ্যা গঠনের ক্ষেত্রে, হাজারের ঘরের অঙ্কটি $\,3\,$ দ্বারা শুরু হতে হবে, যেটা কিনা একভাবে পূর্ণ করা সম্ভব।  বাকি তিনটে ঘর (অর্থাৎ একক, দশক,শতক- এই তিনটে ঘর ) এর ক্ষেত্রে প্রত্যেকটি পাঁচ রকম ভাবে পূর্ণ হতে পারে, কারন মোট$\,5\,$ টি অঙ্ক দেওয়া আছে । 

 অর্থাৎ এক্ষেত্রে মোট বিন্যাসের সংখ্যা= $\,1 \times 5 \times 5 \times 5=125 \,$

$33.~~~$ একটি শ্রেণীতে প্রতিদিন $\,5\,$ পিরিয়ড করে ক্লাস হয়।  কত রকমের চারটি বিভিন্ন বিষয়কে প্রতিদিন বিন্যস্ত করা যায়?

 Sol. যেহেতু চারটি বিষয় আছে এবং পাঁচটি পিরিয়ড আছে । সুতরাং এক্ষেত্রে একটি বিষয় দুইবার পড়াতে হবে। এখন,

পাঁচটি বিষয় $= \frac{5!}{2!}$রকম পড়ান যায়।  আবার যেই বিষয় পড়ানো হবে, সেই বিষয়টি চার রকমের নির্বাচন করা যায়।  সুতরাং মোট বিন্যাস সংখ্যা$= 4 \times \frac{5!}{2!}=240. $

$34.~~~\,\,\textbf{LATE}\,\,$  শব্দের অক্ষর গুলো বিন্যস্ত করে যেসব শব্দ গঠিত হয় তাদের অভিধানের নিয়মে সাজানো হলে শব্দটির অবস্থান (rank) নির্ণয় করো ?

 Sol. $\,\,\textbf{LATE}\,\,$  শব্দের অক্ষর গুলো বিন্যস্ত করে $\,4!=24\,\,$ টি বিভিন্ন শব্দ গঠন করা যায়। এই $\,24\,$ টি শব্দের মধ্যে $\color{blue}A$ দ্বারা আরম্ভ হয় এমন শব্দ সংখ্যা $\,=3!=6\,\,$ টি। একইভাবে $\color{blue}E$ দ্বারা আরম্ভ হয় এমন সব  শব্দ সংখ্যা $\,=3!=6\,\,$ টি। সুতরাং এরপরে L দ্বারা ও শেষে T দ্বারা শব্দ আরম্ভ হবে।

$\,6+6=12\,$ তম শব্দ গঠনের পরে, $\,13\,$তম শব্দটি হল=$\,\,\textbf{LAET}\,\,$. এরপরে, $\,14\,$তম শব্দটি হবে=$\,\,\textbf{LATE}\,\,$.

স্পষ্টতই $\,\,\textbf{LATE}\,\,$  শব্দের অক্ষর গুলো বিন্যস্ত করে যেসব শব্দ গঠিত হয় তাদের অভিধানের নিয়মে সাজানো হলে শব্দটির অবস্থান (rank) হবে  $=\color{red}{14}.$

$35.~~~$ একটি সংকেত লিপিতে  (code signal) অঙ্ক-অক্ষর-অঙ্ক(digit-letter-digit) সমন্বয় (ইংরেজি হরফের অক্ষর) ব্যবহার করা হয়; অংক কিংবা অক্ষরে $\,0\,$ এবং $\,1\,$ ব্যবহার করা হয় না। কতগুলি বিভিন্ন সংকেত লিপি সম্ভব ?

Sol. আমরা জানি, ইংরেজি হরফে মোট $\,26\,$ টি অক্ষর আছে । এর মধ্যে $\,0\,$ এবং $\,1\,$ এর সমতুল্য ইংরাজি হোলো $\,O\,$ এবং $\,I\,$. এই দুটো অক্ষর বাদ দিলে মোট ইংরেজি হরফের সংখ্যা দাঁড়ায় $=26-2=24.$

 আবার সংখ্যার ক্ষেত্রে $\,0\,$  থেকে $\,9\,$  পর্যন্ত মোট  দশটি অংক পাওয়া যায়। এর মধ্যে $\,0\,$  এবং $\,1\,$  কে বাদ দিলে মোট অংক সংখ্যা দাঁড়ায় $=10-2=8$ টি। 

সুতরাং, একটি সংকেত লিপি (code signal)তে অঙ্ক-অক্ষর-অঙ্ক(digit-letter-digit) সমন্বয় (ইংরেজি হরফের অক্ষর) ব্যবহার করে মোট $=8 \times 24 \times 8=1536$ টি বিভিন্ন সংকেত লিপি সম্ভব।