Combination | সমবায় | Part-4

 Combination | সমবায় | S N De Maths Solution | Part-4

 $10(i).~~\,9\,$টি বিভিন্ন ব্যঞ্জনবর্ণ থেকে দুটি ব্যঞ্জন বর্ণ এবং পাঁচটি স্বরবর্ণ থেকে তিনটি স্বরবর্ণ একযোগে নিয়ে পাঁচটি অক্ষর বিশিষ্ট কতগুলি বিভিন্ন শব্দ গঠন করা যায়? 

Sol. $\,9\,$টি বিভিন্ন ব্যঞ্জনবর্ণ থেকে দুটি ব্যঞ্জনবর্ণ $\,{}^{9}C_2\,$ প্রকারে নির্বাচন করা যায়। আবার পাঁচটি স্বরবর্ণ থেকে তিনটি স্বরবর্ণ $\,{}^5C_3\,$ প্রকারে নির্বাচন করা যায়।

 আবার দুটি ব্যঞ্জন বর্ণ এবং তিনটি স্বরবর্ণ মিলে পাঁচটি অক্ষর নিজেদের মধ্যে $\,5!\,$ প্রকারে বিন্যস্ত হতে পারে।

 সুতরাং এক্ষেত্রে  এক্ষেত্রে নির্ণেয় মোট নির্বাচন সংখ্যা হল 

$={}^{9}C_2 \times {}^5C_3 \times 5!=43200 $ 

 $10(ii).~\,12\,$টি বিভিন্ন ব্যঞ্জনবর্ণ এবং $\,\,5\,$টি বিভিন্ন স্বরবর্ণ থেকে $\,\,4\,$টি ব্যঞ্জন বর্ণ ও $\,\,3\,$টি স্বরবর্ণ নিয়ে কতগুলি বিভিন্ন শব্দ গঠন করা যায়? 

 Sol.$\,12\,$টি বিভিন্ন ব্যঞ্জনবর্ণ থেকে $\,\,4\,$টি ব্যঞ্জনবর্ণ $\,{}^{12}C_4\,$ প্রকারে নির্বাচন করা যায়। আবার $\,\,5\,$টি স্বরবর্ণ থেকে $\,\,3\,$টি স্বরবর্ণ $\,{}^5C_3\,$ প্রকারে নির্বাচন করা যায়।

 আবার $\,4\,$টি ব্যঞ্জন বর্ণ এবং $\,3\,$টি স্বরবর্ণ মিলে $\,\,5\,$টি অক্ষর নিজেদের মধ্যে $\,7!\,$ প্রকারে বিন্যস্ত হতে পারে।

সুতরাং এক্ষেত্রে  এক্ষেত্রে নির্ণেয় মোট নির্বাচন সংখ্যা হল 

$={}^{12}C_4 \times {}^5C_3 \times 7!=4950 \times 7! $ 

$\,11.\,~~$  এক ব্যক্তির $\,15\,$ জন  পরিচিত ব্যক্তি আছেন এবং তাদের মধ্যে $\,10\,$ জন তার আত্মীয় । কত বিভিন্ন উপায়ে তিনি $\,9\,$জনকে অতিথি হিসাবে আহবান করতে পারবেন যাতে নিমন্ত্রিত ব্যক্তিদের মধ্যে $\,7\,$জন আত্মীয় হবেন?

Sol.  প্রশ্ন অনুযায়ী, $\,15\,$ জন  পরিচিত ব্যক্তির মধ্যে $\,10\,$ জন আত্মীয় হলে , আত্মীয় নয় এমন লোকের সংখ্যা $\,15-10=5\,$ জন।  $\,9\,$কে অতিথি হিসেবে এমনভাবে আহবান করতে হবে যাতে $\,7\,$জন আত্মীয় হয়।  এই সাত জনকে তাহলে $\,10\,$  জন আত্মীয়ের মধ্যে নিতে হবে যেটি সম্ভব =${}^{10}C_7\,\,$ প্রকারে। 

সেক্ষেত্রে বাকি দু'জনকে $\,5\,$ আত্মীয় নয় এমন লোকের মধ্য থেকে নির্বাচিত করতে হবে যেটি সম্ভব=${}^{5}C_2\,\,$  প্রকারে।   সুতরাং এক্ষেত্রে মোট নির্বাচনের সংখ্যা হল

 $={}^{10}C_7 \times {}^{5}C_2 \\=\frac{10!}{7!\times (10-7)!} \times \frac{5!}{2! \times (5-2)!}\\=120 \times 10\\=1200\,\,\text{(ans.)}$ 

  $12.~~\,15\,$  জন লোকের মধ্য থেকে কত বিভিন্ন উপায়ে $\,9\,$ জন লোক নির্বাচন করা যায় যাতে (i) নির্দিষ্ট তিনজন লোক সর্বদা বাদ পড়ে (ii) নির্দিষ্ট  $\,3\,$ জন লোক সর্বদা থাকবে ? 

Sol. $1\,$st part :  $\,15\,$ জনের মধ্যে $\,3\,$ জন নির্দিষ্ট লোককে বাদ দিতে হলে অবশিষ্ট লোকের সংখ্যা হয় $\,15-3=12\,$ জন।  এই $\,12\,$ জন লোকের মধ্যে  $\,9\,$ জনকে নির্বাচিত করা যেতে পারে=${}^{12}C_9=\frac{12!}{9!\times (12-9)!}=220$ প্রকারে। 

$2\,$nd part: $\,3\,$ জন নির্দিষ্ট লোককে সর্বদা রাখতে হলে অবশিষ্ট$\,15-3=12\,$ জন লোকের মধ্যে $\,9-3=6\,$জনকে নির্বাচিত করা যায় =${}^{12}C_6=\frac{12!}{6!\times (12-6)!}=924\,$ প্রকারে।

 $13(i).~~\,8\,\,$জন ভদ্রমহিলা ও $\,7\,\,$জন ভদ্রলোকের মধ্য থেকে কত রকমে $\,3\,\,$জন ভদ্রমহিলা ও $\,4\,\,$জন ভদ্রলোকের কমিটি গঠন করা যায় ? শ্রীযুক্ত $\,Y\,$ যদি একজন সদস্য হন তবে শ্রীমতি $\,X\,$ কমিটিতে থাকতে অস্বীকৃত হন এমন কতগুলি ক্ষেত্র হতে পারে? 

 Sol.  $1\,$st part:  $\,8\,\,$জন ভদ্রমহিলার মধ্য থেকে $\,3\,\,$জন ভদ্রমহিলা নির্বাচিত করা যেতে পারে $={}^8C_3\,$ প্রকারে । একইভাবে সাত জন ভদ্রলোকের মধ্য থেকে চার জন ভদ্রলোকের নির্বাচন  করা যায় $={}^7C_4\,$ প্রকারে । 

 সুতরাং এক্ষেত্রে  এক্ষেত্রে নির্ণেয় মোট নির্বাচন সংখ্যা হল=${}^{8}C_3 \times {}^7C_4 =56 \times 35=1960.$ 

   $\,2\,$nd part: প্রথমত, শ্রীযুক্ত $\,Y\,$ যদি একজন সদস্য হন তবে শ্রীমতি $\,X\,$ কমিটিতে থাকতে অস্বীকৃত হন।  এইরূপ ক্ষেত্র হতে পারে=${}^7C_3 \times {}^6C_3=35 \times 20=700 \rightarrow (1)\,\,$ প্রকারে।

একইভাবে,  শ্রীযুক্ত $\,Y\,$ যদি একজন সদস্য না হন তবে শ্রীমতি $\,X\,$ কমিটিতে থাকতে স্বীকৃত হন।  এইরূপ ক্ষেত্র হতে পারে=${}^8C_3 \times {}^6C_4=56 \times 15=840 \rightarrow (2)\,\,$ প্রকারে।

$\,(1)\,$ ও $\,(2)\,$ থেকে পাই, মোট নির্বাচন সংখ্যা =$700+840=1540.$

$\,13(ii).~~$ যাতে কোনো দুজন স্ত্রীলোক পাশাপাশি না থাকে এভাবে $\,m\,$ জন পুরুষ এবং $\,n\,$ জন স্ত্রীলোক এক সারিতে আসন গ্রহণ করে। যদি $\,m>n\,$ হয়, তবে দেখাও যে, তারা  $\,\frac{m!(m+1)!}{(m-n+1)!}\,\,$প্রকারে আসন গ্রহন করতে পারে ? 

Sol. যদি কোন স্ত্রীলোক পাশাপাশি না থাকে তবে $\,m\,$ জন পুরুষকে $\,1,2,3,\cdots ,m\,\,$ এই $\,m\,$ সংখ্যক স্থানে থাকতে হবে এবং $\,n\,$ জন স্ত্রীলোককে $\,m\,$  জন পুরুষের মধ্যবর্তী স্থানে এবং দুই প্রান্তে অর্থাৎ $\,(m-1+2)=(m+1)\,$  টি স্থানে থাকতে হবে । 

 এখন, $\,m\,$  সংখ্যক পুরুষ $\,m\,$  সংখ্যক স্থানে থাকতে পারে $\,{}^mP_m\,$  রকমে, আবার $\,n\,$  সংখ্যক স্ত্রীলোক  $\,(m+1)\,$  সংখ্যক স্থানে থাকতে পারে $\,{}^{m+1}P_n\,$  রকমে । 

 সুতরাং কোন দুজন স্ত্রীলোক  পাশাপাশি না রেখে বিন্যাসের সংখ্যা হল

$={}^{m}P_m \times {}^{m+1}P_n\\=m! \times \frac{(m+1)!}{(m+1-n)!}\\=\frac{m!(m+1)!}{(m-n+1)!}.$

$\,14.\,$ কোনো লটারিতে $\,৪\,$ টি পুরস্কার ঘোষণা করা হয়। প্রথম অংশগ্রহণকারী $\,50\,$ টি টিকিটের একটি বাক্স থেকে $\,5\,$ টি টিকিট তোলে। কত বিভিন্ন উপায়ে টিকিট  $\,5\,$ টি তুললে সে ঠিক দুটি পুরস্কারজয়ী টিকিট তুলবে?

Sol. $\,8\,$ টি পুরস্কারের  টিকিটের  মধ্যে দুটি পুরস্কারের টিকিট  নির্বাচন করা যায় $\,{}^8C_2\,$ রকমে ।  আবার অবশিষ্ট তিনটি পুরস্কার ছাড়া টিকিট নির্বাচন করা করতে হবে $\,(50-8)=42\,\,$ টি টিকিটের মধ্য থেকে,  যা $\,{}^{42}C_3\,$ রকমে  সম্ভব। 

 সুতরাং সে ঠিক দুটি পুরস্কারজয়ী তুলবে $\,\,{}^8C_2 \times {}^{42}C_3=321440\,\, $ রকমে । 

$15. ~~7\,\,$ জন নির্বাচন প্রার্থীর মধ্য থেকে $\,4\,$ জন সদস্য নির্বাচন করতে হবে। একজন ভোটদাতা যতজন নির্বাচিত হবেন তার অনধিক যতজন প্রার্থীকে ইচ্ছা ভোট দিতে পারেন। তিনি কত বিভিন্ন উপায়ে ভোট দিতে পারেন?

Sol. একজন ভোটদাতা,

 $\,1\,$ জন প্রার্থীকে ভোট দিতে পারেন $\,{}^{7}C_1\,$ রকমে, 

 $\,2\,$ জন প্রার্থীকে ভোট দিতে পারেন $\,{}^{7}C_2\,$ রকমে,

 $\,3\,$ জন প্রার্থীকে ভোট দিতে পারেন $\,{}^{7}C_3\,$ রকমে,

 $\,4\,$ জন প্রার্থীকে ভোট দিতে পারেন $\,{}^{7}C_4\,$ রকমে । 

সুতরাং একজন ভোটদাতা অনধিক $\,4\,$ জন প্রার্থীকে ভোট দিতে পারেন 

$={}^{7}C_1+{}^{7}C_2+{}^{7}C_3+{}^{7}C_4\\=\frac{7!}{1! \times (7-1)!}+\frac{7!}{2!(7-2)!}+\frac{7!}{3!(7-3)!}+\frac{7!}{4!(7-4)!}\\=\frac{7 \times 6!}{6!}+\frac{7 \times 6 \times 5!}{2 \times 5!}+\frac{7\cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{6 \cdot 4!}+\frac{7\cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 6}\\=7+21+35+35\\=98\,\,$ 

রকমে ।