Combination | সমবায় | Part-5

 Combination | সমবায় | S N De Maths Solution | Part-5 

WBCHSE | ISC | CBSE.

$\,16. (i)~~$ কোনো সমতলে $\,10\,$ টি বিন্দু আছে, তার মধ্যে $\,4\,$ টি একরেখীয় এবং অন্যগুলির কোনো $\,3\,$ টি একরেখীয় নয়। বিন্দুগুলি যুক্ত করে $\,(i)\,$ কতগুলি সরলরেখা এবং $\,(ii)\,$ কতগুলি ত্রিভুজ পাওয়া যাবে নির্ণয় করো।

Sol. সরলরেখা নির্বাচন :  $\,10\,$ টি বিন্দুর থেকে  $\,2\,$ টি বিন্দু  $\,{}^{10}C_2\,\,\,$রকমে নির্বাচন করা যায়। 

$\,10\,$ টি বিন্দুর থেকে  $\,4\,$ টি বিন্দু  একরেখীয় যারা কেবল মাত্র $\,1\,$ টি গঠন করতে পারবে। 

$\,\therefore ~~~$গঠিত সরলরেখার সংখ্যা 

$={}^{10}C_2-{}^4C_2+1\\=\frac{10!}{2!(10-2)!}-\frac{4!}{2!(4-2)!}+1\\=\frac{10 \cdot 9\cdot 8!}{2! \times 8!}-\frac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \times 2!}+1\\=\frac{90}{2}-\frac{12}{2}+1\\=45-6+1\\=40.$

ত্রিভুজ নির্বাচন : $\,10\,$ টি বিন্দুর থেকে  $\,3\,$ টি বিন্দু  $\,{}^{10}C_3\,\,\,$রকমে নির্বাচন করা যায়। 

আবার একরেখীয় চারটি বিন্দুর কোন তিনটি বিন্দু ত্রিভুজ গঠন করতে পারে না । 

সুতরাং নির্ণেয় ত্রিভুজের সংখ্যা হল 

$={}^{10}C_3-{}^4C_3\\=\frac{10!}{3! \cdot (10-3)!}-\frac{4!}{3! \cdot (4-3)!}\\=\frac{10\cdot 9\cdot 8 \cdot 7!}{6\times 7!}-\frac{4 \cdot 3!}{3! \times 1!}\\=\frac{10\times 72}{6}-4\\=120-4\\=116.$

$(ii)\,\,$  একটি সমতলে $\,20\,\,$ টি সরলরেখা যদি এমনভাবে টানা হয় যেন, তাদের মধ্যে কোনো দুটি সরলরেখাই সমান্তরাল নয় এবং কোনো তিনটি সরলরেখাই সমবিন্দু নয়, তবে সেক্ষেত্রে কতগুলি ছেদবিন্দু থাকবে?

Sol. যেহেতু সরলরেখাগুলি একতলীয়, অসমান্তরাল এবং কোনো তিনটি সমবিন্দু নয় সুতরাং, নির্বাচিত যে-কোনো দুটি সরলরেখা পরস্পরকে ভিন্ন বিন্দুতে ছেদ করবে। 

$\,20\,$ টি সরলরেখার মধ্যে থেকে $\,2\,$ টি সরলরেখা

$\,{}^{20}C_2\\=\frac{20!}{2!\cdot (20-2)!}\\=\frac{20 \cdot 19 \cdot 18!}{2\times 18!}\\=10 \times 19\\=190$ 

রকমে নির্বাচন করা যায়।

$\,(iii)\,$ একটি সমতলে অঙ্কিত $\,10\,$ টি সমান্তরাল সরলরেখাকে ওই সমতলে অঙ্কিত অন্য $\,8\,$ টি সমান্তরাল সরলরেখা ছেদ করলে, কতগুলি সামান্তরিক উৎপন্ন হবে?

Sol. প্রথম $\,10\,$ টি সমান্তরাল সরলরেখা থেকে $\,2\,$ টি সরলরেখা নির্বাচন করা যায় $\,{}^{10}C_2\,\,$ রকমে। দ্বিতীয় $\,8\,$ টি সমান্তরাল সরলরেখা থেকে $\,2\,$টি সরলরেখা নির্বাচন করা যায়$\,{}^{8}C_2\,\,$ রকমে।  

$\,\therefore ~~~$প্রথম $\,10\,$ টি সরলরেখা থেকে যে-কোনো $\,2\,$ টি এবং দ্বিতীয় $\,8\,$ টি সরলরেখা থেকে যে-কোনো $\,2\,$ টি সরলরেখা দ্বারা গঠিত সামান্তরিকের সংখ্যা

$\,{}^{10}C_2 \times {}^{8}C_2 \\=\frac{10!}{2! \times (10-2)!} \times \frac{8!}{2!\times (8-2)!} \\=\frac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{2 \times 8!}\times \frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{2 \times 6!}\\=45 \times 28\\=1260\,\,\text{(ans.)}$

$\,(iv)\,~~$ একটি সমতলে অবস্থিত $\,15\,$ টি বিন্দুর মধ্যে $\,4\,$ টি বিন্দু একটি সরলরেখায় অবস্থিত এবং অন্য $\,5\,$ টি বিন্দু অন্য একটি সরলরেখায় অবস্থিত। সরলরেখা দুটি সমান্তরাল এবং অবশিষ্ট $\,6\,$ টি বিন্দুর মধ্যে কোনো তিনটিই সমরেখ নয়। এই $\,15\,$ টি বিন্দু দিয়ে যতগুলি $\,(a)\,$ সরলরেখা এবং $\,(b)\,$ ত্রিভুজ গঠন করা যায় তাদের সংখ্যা নির্ণয় করো।

Sol.  $(a)~\,15\,$ টি বিন্দুর মধ্যে  $\,2\,$ টি বিন্দু $\,{}^{15}C_2\,$ রকমে নির্বাচন করা যায়।

আবার, এর মধ্যে $\,4\,$ টি সমরেখ বিন্দু থেকে কেবল একটি সরলরেখা গঠন করা যায়। এবং অন্য $\,5\,$ টি সমরেখ বিন্দু থেকে কেবল একটি সরলরেখা গঠন করা যায়।

$\,\therefore ~~$ সরলরেখা গঠনের সংখ্যা 

$={}^{15}C_2-{}^4C_2+1-{}^5C_2+1\\=\frac{15!}{2!(15-2)!}-\frac{4!}{2!(4-2)!}+1-\frac{5!}{2!(5-2)!}+1\\=\frac{15 \times 14 \times 13!}{2 \times 13!}-\frac{4\times 3 \times 2!}{2 \times 2!}+1-\frac{ 5 \times 4 \times 3!}{2 \times 3!}+1\\=15\times 7-6+1-10+1\\=91\, \text{(ans.)}$

$\,(b)\,\, 15\,$ টি বিন্দুর মধ্যে $\,3\,$ টি বিন্দু $\,{}^{15}C_3\,$ রকমে নির্বাচন  করা যায়। আবার , $\,4\,$ টি সমরেখ ও অন্য $\,5\,$ টি সমরেখ বিন্দুর কোনো $\,3\,$ টি বিন্দুই একটি ত্রিভুজ গঠন করতে পারবে না।

সুতরাং, ত্রিভুজ গঠনের সংখ্যা 

$={}^{15}C_3-{}^4C_3-{}^5C_3\\=\frac{15!}{3! \times (15-3)!}-\frac{4!}{3!\times (4-3)!}-\frac{5!}{3! \times (5-3)!}\\=\frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12!}{6 \times 12!}-\frac{4 \times 3!}{3!\times 1!}-\frac{5 \times 4 \times 3!}{3!\times 2!}\\=455-4-10\\=441\,\,\text{(ans.)}$

$\,17.\,\,$  দেখাও যে, $\,2n\,$ টি বস্তু থেকে $\,n\,$ টি বস্তুর সমবায় সংখ্যায় একটি নির্দিষ্ট বস্তু সর্বদা থাকবে এমন সমবায়ের সংখ্যা ও একটি নির্দিষ্ট বস্তু কখনও থাকবে না এমন সমবায়ের সংখ্যা পরস্পর সমান।

Sol.  একটি নির্দিষ্ট বস্তু সর্বদা থাকবে :  

$\,1\,$ টি নির্দিষ্ট  বস্তু সমবায়ে সর্বদা থাকলে, $\,(2n- 1)\,$ টি বস্তুর থেকে অবশিষ্ট $\,(n-1)\,$ টি বস্তু নির্বাচন হবে, যা ${}^{2n-1}C_{n-1}\,\,$ রকমে সম্ভব। 

সুতরাং, সমবায়ে $\,1\,$ টি নির্দিষ্ট বস্তু সর্বদা থাকবে এমন সমবায়ের সংখ্যা  $={}^{2n-1}C_{n-1}.$

একটি নির্দিষ্ট বস্তু কখনও থাকবে না : 

$\,1\,$ টি নির্দিষ্ট  বস্তু কখনও না থাকলে, $\,(2n-1)\,$ টি বস্তুর থকে $\,n\,$ টি বস্তু নির্বাচন করতে হয়, যা $\,{}^{2n-1}C_n\,\,$ রকমে সম্ভব। 

সুতরাং, সমবায়ে $\,1\,$ টি নির্দিষ্ট বস্তু কখনও থাকবে না এমন সমবায়ের সংখ্যা

$={}^{2n-1}C_n\\={}^{2n-1}C_{2n-1-n}\,\,[\because {}^nC_r={}^nC_{n-r}]\\={}^{2n-1}C_{n-1}.$

সুতরাং, $\,1\,$ টি নির্দিষ্ট বস্তু সর্বদা থাকবে এবং একটি নির্দিষ্ট বস্তু কখনও থাকবে না এমন সমবায়ের সংখ্যা একই। 

$18.\,\,$ একই অঙ্ক একাধিকবার ব্যবহার না করে এবং অঙ্কসমূহ $\,(i)\,$ মানের ঊর্ধ্বক্রমে $\,(ii)\,$ মানের অধঃক্রমে রেখে $\,0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\,$ অঙ্কগুলির সাহায্যে $\,6\,$ অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায় ?

Sol. $\,(i)\,$ যেহেতু গঠিত সংখ্যাটিতে অঙ্কগুলি মানের ঊর্ধ্বক্রমে থাকবে সুতরাং নির্বাচিত যে-কোনো $\,6\,$ টি অঙ্ক দ্বারা কেবলমাত্র $\,1\,$ টি সংখ্যাই গঠন করা সম্ভব। 

$\,9\,$ টি অঙ্কের মধ্যে থেকে $\,6\,$ টি অঙ্ক $\,{}^9C_6\,\,$ রকমে  নির্বাচন করা যায়। একেবারে বাঁদিকে $\,0\,$ কখনই আসবে না কারণ সেক্ষেত্রে তার ডানদিকের অঙ্ক $\,0\,$-এর থেকে ছোটো হতে হবে, যা অসম্ভব।  

$\,\therefore ~~ 6\,\,$  অঙ্কের এমন সংখ্যার সংখ্যা $\,{}^9C_6=\frac{9!}{6!(9-6)!}=\frac{9 \cdot 8\cdot 7 \cdot 6!}{6!\cdot 3!}=84.$

$\,(ii)\,\,$ যেহেতু গঠিত সংখ্যাটিতে অঙ্কগুলি মানের অধঃক্রমে থাকবে সুতরাং নির্বাচিত যে-কোনো $\,6\,$ টি অঙ্ক দ্বারা কেবলমাত্র $\,1\,$ টি সংখ্যাই গঠন করা সম্ভব।

$\,9\,$ টি অঙ্কের মধ্যে থেকে $\,6\,$ টি অঙ্ক $\,{}^9C_6\,\,$ রকমে  নির্বাচন করা যায়।

আবার, একেবারে বাঁদিকে $\,0\,$ থাকলে তা $\,6\,$ অঙ্কের সংখ্যা হবে না। একেবারে বাঁদিকে $\,0\,$

থাকতে পারে $\,{}^8C_5\,$ রকমে।  

$\,\therefore ~~6\,\,$ অঙ্কের এমন সংখ্যার সংখ্যা

$\,={}^9C_6-{}^8C_5\\=\frac{9!}{6!(9-6)!}-\frac{8!}{5!(8-5)!}\\=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6!}{6!\times 3!}-\frac{8 \cdot 7\cdot 6\cdot 5!}{5! \times 3!}\\=84-56\\=28\,\,\text{(ans.)}$

$\,19.\,$ যদি $\,(r+r')\,$ সংখ্যক বস্তু একযোগে নিয়ে $\,n\,$ সংখ্যক বস্তুর সমবায় সংখ্যা এবং $\,(r-r')\,$ সংখ্যক বস্তু একযোগে নিয়ে $\,n\,$-সংখ্যক বস্তুর সমবায় সংখ্যা পরস্পর সমান হয়, তবে $\,n\,$-এর মান নির্ণয় করো।

Sol. $\,(r+r')\,$ সংখ্যক বস্তু একযোগে নিয়ে $\,n\,$ সংখ্যক বস্তুর সমবায় সংখ্যা $\,\,{}^nC_{r+r'}\,\,$ এবং  $\,(r-r')\,$ সংখ্যক বস্তু একযোগে নিয়ে   $\,n\,$-সংখ্যক বস্তুর সমবায় সংখ্যা $\,{}^nC_{r-r'}.$ 

প্রশ্নানুসারে, $\,\,{}^nC_{r+r'}={}^{n}C_{r-r'} \\ \therefore ~~ r+r'+r-r'=n \\ \Rightarrow n=2r.$

$\,20.\,\,~~$ একজন ব্যক্তির কাছে $\,10\,\,$ টি  $\,10\,\,$ টাকার,  $\,5\,\,$ টি $\,5\,\,$ টাকার,  $\,2\,\,$ টি  $\,2\,\,$ টাকার এবং  $\,1\,\,$ টি $\,1\,\,$ টাকার নোট আছে; সে কত রকমে কোনো দরিদ্র ভাণ্ডারে দান করতে পারে?

Sol. একজন ব্যক্তির কাছে $\,10\,\,$ টি  $\,10\,\,$ টাকার,  $\,5\,\,$ টি $\,5\,\,$ টাকার,  $\,2\,\,$ টি  $\,2\,\,$ টাকার এবং  $\,1\,\,$ টি $\,1\,\,$ টাকার নোট আছে ; সে যত রকমে কোনো দরিদ্র ভাণ্ডারে দান করতে পারে, তা হল 

$=[(10+ 1) (5+1) (2+1) (1+1) - 1]\\=11 \times 6\times 3 \times 2-1 \\= 395\,\text{(ans.)}$

$\,21. (i)\,~~~37800\,\,$  সংখ্যাটির কতগুলি বিভিন্ন উৎপাদক আছে ?

$\,(ii)\, 3528\,\,$ সংখ্যাটির বিভিন্ন উৎপাদকের সংখ্যা নির্ণয় করো যারা $\,1\,$ থেকে বড়ো এবং $\,3528\,$ থেকে ছোটো।

Sol.  $\,(i)\,\,37800=2^3 \times 5^2 \times 3^3 \times 7$

$\,\therefore \,$ উৎপাদকের সংখ্যা $=(3+1)(2+1)(3+1)(1+1)=96.$

$\,(ii)\,\, 3528=2^3 \times 3^2 \times 7^2 $

$\,\therefore \,\,1\,$ থেকে বড় এবং $\,3528\,$ থেকে ছোট  এমন উৎপাদকের সংখ্যা 

$=(3+1)(2+1)(2+1)-1-1=34.$