Permutation | বিন্যাস | S N De Maths Solution | Part-4

   

$12.\,\,3,5,7,8,9 \,\,$ অংকগুলির কোনটির পুনরাবৃত্তি না করে $\,\,7000\,\,$ অপেক্ষা বড় কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায়?

Sol. প্রদত্ত পাঁচটি অংক দ্বারা $\,5\,$ অপেক্ষা বৃহত্তর  সংখ্যাগুলি হয় চার অংক বিশিষ্ট কিংবা পাঁচ অংক বিশিষ্ট হবে। চার অংক বিশিষ্ট সংখ্যা গঠনের ক্ষেত্রে অতি অবশ্যই $\,7,8\,$ কিংবা $\,9\,$ কে প্রথম স্থানে রাখতে  হবে।

$\,7\,\,$ দিয়ে শুরু হবে এমন গঠিত সংখ্যার সংখ্যা= $\,\,{}^4P_3$

 অনুরূপে $\,8\,\,$ দিয়ে শুরু হবে এমন গঠিত সংখ্যার সংখ্যা= $\,\,{}^4P_3$

 এবং $\,9\,\,$ দিয়ে শুরু হবে এমন গঠিত সংখ্যার সংখ্যা= $\,\,{}^4P_3$

 আবার $\,5\,\,$ অঙ্কবিশিষ্ট প্রতি সংখ্যাই $\,\,7000\,\,$ অপেক্ষা বড় হবে। এমন সংখ্যার সংখ্যা =${}^5P_5=5!=120$

সুতরাং নিম্নে প্রদত্ত অংক পাঁচটি দ্বারা গঠিত $\,\,7000\,\,$ অপেক্ষা বৃহত্তর  সংখ্যার সংখ্যা

 $={}^4P_3+{}^4P_3+{}^4P_3+{}^5P_5\\= 3 \times {}^4P_3 + 5!\\= 3 \times \frac{4!}{(4-3)!}+5!\\=72+120\\=\color{red}{192}$

 $13.~~\,3,4,5,6,8\,\,$অংকগুলি দ্বারা $\,\,6000\,\,$ অপেক্ষা বড় চার অংক বিশিষ্ট কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায় (একই অংক একাধিকবার ব্যবহার করা চলবে না)? এই সংখ্যাগুলোর মধ্যে কতগুলি অযুগ্ম হবে?

 Sol. প্রদত্ত পাঁচটি অংক দ্বারা চার অংক বিশিষ্ট $\,\,6000\,\,$  অপেক্ষা বৃহত্তর  সংখ্যা গঠনের ক্ষেত্রে অতি অবশ্যই $\,6\,$ কিংবা $\,8\,\,$ কে প্রথম স্থানে রাখতে হবে।

 $\,6\,$  দিয়ে শুরু হবে এমন গঠিত সংখ্যার সংখ্যা=${}^4P_3\,\,\,$;

 অনুরূপে  $\,8\,$  দিয়ে শুরু হবে এমন গঠিত সংখ্যার সংখ্যা=${}^4P_3$

কেননা চার অংক বিশিষ্ট সংখ্যার প্রথম স্থানে ছয় কিংবা আটকে রাখার পর বাকি তিনটি স্থানে চারটি অঙ্ককে সজ্জিত করতে হবে। সুতরাং নির্ণেয় প্রদত্ত পাঁচটি অংক দ্বারা গঠিত $\,\,6000\,\,$  অপেক্ষা বৃহত্তর  সংখ্যার সংখ্যা

$={}^4P_3+{}^4P_3\\=2 \times \frac{4!}{(4-3)!}\\=2 \times \frac{4.3.2.1!}{1!}\\=48$

যেহেতু প্রদত্ত অংকগুলির সাহায্যে গঠিত চার অংক বিশিষ্ট $\,6000\,\,$ অপেক্ষা বৃহত্তর সংখ্যাগুলি অযুগ্ম হতে হবে । সুতরাং এককের স্থলে একটি অযুগ্ম অঙ্ক রাখতে হবে।  প্রদত্ত অংকগুলির মধ্যে দুটি অযুগ্ম অংক বর্তমান।  যথা $\,3\,$ ও $\,5\,$. 

 একক স্থানে $3\,$ কে রাখলে অবশিষ্ট তিনটি অঙ্ককে অবশিষ্ট দুটি স্থানে $\,\,{}^3P_2\,\,$ প্রকারে সাজানো যায় যেখানে সহস্র  স্থানে থাকে $\,6$.

 একক স্থানে $5\,$ কে রাখলে অবশিষ্ট তিনটি অঙ্ককে  অবশিষ্ট দুটি স্থানে $\,\,{}^3P_2\,\,$ প্রকারে সাজানো যায়, যেখানে সহস্র স্থানে থাকে $\,6\,\,\,$ ;  

 অনুরূপে যখন সহস্র স্থানে $\,\,8\,\,$ থাকে তখন একক স্থানে $\,3\,$ কে রেখে অবশিষ্ট তিনটি অংক অবশিষ্ট দুটি স্থানে $\,\,{}^3P_2\,\,$ প্রকারে সাজানো যায়।   

আবার যখন সহস্র স্থানে $\,\,8\,\,$ থাকে তখন একক স্থানে $\,5\,$ কে রেখে অবশিষ্ট তিনটি অংক অবশিষ্ট দুটি স্থানে $\,\,{}^3P_2\,\,$ প্রকারে সাজানো যায়।

সুতরাং প্রদত্ত অংক গুলি সাহায্যে গঠিত চার অংক বিশিষ্ট $\,\,6000\,\,$  অপেক্ষা বৃহত্তর সংখ্যা গুলির মধ্যে নির্ণেয় অযুগ্ম সংখ্যার সংখ্যা 

 $={}^3P_2+{}^3P_2+{}^3P_2+{}^3P_2\\=4 \times {}^3P_2\\=4 \times \frac{3!}{(3-2)!}\\=4\times \frac{3\cdot 2 \cdot 1!}{1!}\\=4\cdot 3\cdot 2\\=24$

  $14.~~\, 0,2,5,6,7\,\,$ অংকগুলির কোনোটিই একাধিকবার ব্যবহার না করে পাঁচটি সার্থক অঙ্ক বিশিষ্ট কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায়?

 Sol. কোন বাধ্যবাধকতা না থাকলে  $\, 0,2,5,6,7\,\,$ এই পাঁচটি অংক পাঁচটি স্থানে $\,{}^5P_5=5!\,\,$ প্রকারে সাজানো যায়। কিন্তু যখন $\,0\,\,$ সর্ববামে আসবে তখন গঠিত সংখ্যাসমূহ চার অংকবিশিষ্ট হয়ে যাবে। সুতরাং শূন্যকে সর্ববামে রাখলে চারটি অঙ্ককে চারটি স্থানে  $\,{}^4P_4=4!\,\,$ প্রকারে সাজানো যায়। 

সুতরাং প্রদত্ত পাঁচটি অংকের সাহায্যে $\,5\,$ অঙ্কবিশিষ্ট গঠিত সার্থক সংখ্যার সংখ্যা= $5!-4!=120-24=96$

$15.\,$  একই অংক একাধিকবার ব্যবহার না করে $\,3,2,7,4,0\,\,$ অংকগুলি সাহায্যে $\,5\,$ অংক বিশিষ্ট কতগুলি অযুগ্ম  সংখ্যা গঠন করা যায়?

 Sol. যেহেতু প্রদত্ত অংকগুলির সাহায্যে গঠিত সংখ্যাগুলি অযুগ্ম হবে, সুতরাং এককের স্থানে একটি অযুগ্ম অংক রাখতে হবে।  একই স্থানে $\,3\,$ রাখলে, অবশিষ্ট চারটি অঙ্ককে অবশিষ্ট চারটি স্থানে $\,{}^4P_4\,$ বা $\,4!\,$ প্রকারে সাজানো যায়। কিন্তু যখন শূন্য সর্ববামে আসবে, তখন গঠিত সংখ্যাসমূহ চার অঙ্কবিশিষ্ট হয়ে যাবে। 

তাই $\,0\,$ কে সর্ববামে বসিয়ে অবশিষ্ট অংক তিনটি অবশিষ্ট তিনটি স্থানে ${}^3P_3=3!\,\,$ প্রকারে সাজানো যায়। সুতরাং $\,3\,$ কে এককের স্থানে রেখে $\,5\,$ অঙ্কবিশিষ্ট সার্থক অযুগ্ম সংখ্যার সংখ্যা হবে= $4!-3!=24-6=18$.

 অনুরূপ  $\,7\,$ কে এককের স্থানে রেখে $\,5\,$ অঙ্কবিশিষ্ট সার্থক অযুগ্ম সংখ্যার সংখ্যা হবে= $4!-3!=24-6=18$.

সুতরাং প্রদত্ত অংক সমূহের দ্বারা মাছ অঙ্কবিশিষ্ট সার্থক অযুগ্ম সংখ্যার সংখ্যা হবে $\,=18+18=36$

$\,16.\,$ কত বিভিন্ন উপায়ে পাঁচজন বাণিজ্য ও চারজন বিজ্ঞান শাখার ছাত্রকে একটি সারিতে সাজানো যায় যাতে বাণিজ্য ও বিজ্ঞান শাখার ছাত্র একজনের পর একজন এই ক্রমে থাকতে পারে?

Sol.  প্রশ্ন অনুযায়ী এক সারিতে প্রদত্ত ক্রমানুসারে সাজাতে গেলে পাঁচজন বাণিজ্য শাখার ছাত্রকে চারজন বিজ্ঞান শাখার ছাত্রের আশেপাশে যে মোট পাঁচটি স্থান আছে ওই পাঁচটি স্থানে বসাতে হবে । অতএব চারজন বিজ্ঞান শাখার ছাত্রের আশেপাশে পাঁচটি স্থানে $\,5\,$ জন বাণিজ্য শাখার ছাত্র $\,\,{}^5P_5=5!\,\,$ প্রকারে সাজানো যায়।

আবার চারজন বিজ্ঞান শাখার ছাত্রকে নিজেদের মধ্যে $\,\,{}^4P_4=4!\,\,$ প্রকারে বিন্যস্ত করা যায়।            

সুতরাং নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা $=5!\times 4!=120 \times 24=\color{blue}{2880}.$

$\,17.\,$ কত বিভিন্ন উপায়ে $\,20\,$ জন প্রথম বর্ষ এবং $\,16\,$ জন দ্বিতীয় বর্ষের ছাত্র কে বিন্যস্ত করা যায় যাতে দুজন দ্বিতীয় বর্ষের ছাত্র একসাথে না বসে?

Sol. কোন দুজন দ্বিতীয় বর্ষের ছাত্র পাশাপাশি থাকবে না যদি তাদের প্রত্যেককে দুইজন প্রথম বর্ষের ছাত্রের মধ্যবর্তী স্থানে অথবা সারির দুই প্রান্তে আসন গ্রহণ করে । সুতরাং প্রত্যেক দুইজন প্রথম বর্ষের ছাত্রের মধ্যে একটি করে কুড়িজন প্রথম বর্ষের ছাত্রের মধ্যে $\,19\,$ এবং প্রান্তের দুটি স্থান মিলিয়ে মোট $\,19+2=21\,$ টি স্থান পাওয়া যায়। এই $\,21\,$ টি স্থানে $\,16\,$জন দ্বিতীয় বর্ষের ছাত্র $\,\,{}^{21}P_{16}\,\,$ প্রকারে আসন গ্রহণ করতে পারে।

আবার এই প্রকার বিন্যাসের প্রতিক্ষেত্রে কুড়িজন প্রথম বর্ষের ছাত্র কে নিজেদের মধ্যে  $\,\color{brown}{20!}\,\,$ প্রকারে সাজানো যায়।         

সুতরাং নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা $={}^{21}P_{16} \times \color{brown}{20!}.$ 

$18.\,$ বারোটি   বিভিন্ন  বস্তু থেকে একযোগে তিনটি করে নিয়ে বিন্যাসের কতগুলিতে (i) $1$ টি নির্দিষ্ট বস্তু সর্বদা থাকবে এবং (ii)কখনো থাকবে না? 

 Sol. বারোটি  বিভিন্ন  বস্তু হতে একযোগে তিনটি করে নিয়ে বিন্যাস করতে হবে।এই তিনটে বস্তুর মধ্যে নির্দিষ্ট একটি বস্তুকে রাখতে হবে এবং এই নির্দিষ্ট একটি বস্তুকে বিন্যস্ত করা যায় $\,{}^3P_1\,$ প্রকারে। 

 অবশিষ্ট $\,12-1=11\,\,$টি বস্তু হতে অবশিষ্ট $\,3-1=2\,\,$টি বস্তু নিয়ে $\,{}^{11}P_2\,$ প্রকারে বিন্যস্ত করা যায়।   

সুতরাং নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা $={}^3P_1 \times {}^{11}P_2\\=\frac{3!}{(3-1)!} \times \frac{11!}{(11-2)!}\\=\frac{\color{red}{3}.2!}{2!} \times \frac{11.10.9!}{9!}\\=\color{red}{3}.11.10\\=330$

একটি নির্দিষ্ট বস্তুকে বাদ দিলে বস্তু থাকে $\,12-1=11\,$টি। এই একটি বস্তু থেকে একযোগে $\,3\,$টি করে নিয়ে বস্তু নিয়ে বিন্যস্ত করা যায় $\,{}^{11}P_3\,$ প্রকারে ।       

এক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা হয় 

$={}^{11}P_3\\=\frac{11!}{(11-3)!}\\=\frac{11.10.9.\color{red}{8!}}{\color{red}{8!}}\\=990$

19. বারোটি বস্তু থেকে একযোগে $\,6\,$টি করে নিয়ে বিন্যাসের কতগুলিতে $\,3\,$টি নির্দিষ্ট বস্তু (i)সর্বদা থাকবে এবং (ii)কখনও থাকবে না? 

 Sol. (i)  বারোটি  বস্তু হতে একযোগে $\,6\,$টি করে নিয়ে বস্তু নিয়ে বিন্যাস করতে হবে।এই $\,6\,$টি বস্তুর মধ্যে  $\,3\,$টি নির্দিষ্ট বস্তুকে রাখতে হবে এবং এই নির্দিষ্ট তিনটি বস্তুকে $\,6\,$ টি স্থানের মধ্যে বিন্যস্ত করা যায় $\,{}^6P_3\,$ প্রকারে।

 অবশিষ্ট $\,12-3=9\,\,$টি বস্তু হতে অবশিষ্ট $\,6-3=3\,\,$টি বস্তু নিয়ে $\,{}^{9}P_3\,$ প্রকারে বিন্যস্ত করা যায়।   

সুতরাং নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা $={}^6P_3 \times {}^{9}P_3\\=\frac{6!}{(6-3)!} \times \frac{9!}{(9-3)!}\\=\frac{6.5.4.3!}{3!} \times \frac{9.8.7.6!}{6!}\\=120 \times 504\\=60480$

(ii) একটি নির্দিষ্ট বস্তুকে বাদ দিলে বস্তু থাকে $\,12-3=9\,$টি। এই $\,9\,$টি বস্তু থেকে একযোগে $\,6\,$টি করে নিয়ে বস্তু নিয়ে বিন্যস্ত করা যায় $\,{}^{9}P_6\,$ প্রকারে ।       

এক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা হয় $={}^{9}P_6=\frac{9!}{(9-6)!}=\frac{9.8.7.6.5.4.3!}{3!}=\color{blue}{60480}$

$\,20.\,$ দুটি $\,\,\textbf{O}\,\,$  একত্রে থাকবে না এই শর্তে কত রকমে $\,\,\textbf{FOOTBALL}\,\,$  শব্দটির অক্ষর গুলো সাজানো যায়?

 Sol. প্রদত্ত শব্দটির মধ্যে $\,\color{blue}{O,L}\,$ এই বর্ণ দুটি দুবার করে আছে; সুতরাং  শব্দটির অক্ষরগুলোর নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা হল $=\,\frac{8!}{2! \times 2!}.\,$

যদি দুটি $\,O\,$ একত্রে থাকে সেক্ষেত্রে মোট বর্ণের সংখ্যা হয় $=8-2+1=7.\,$  সুতরাং সেক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা হল $=\,\frac{7!}{2!}.\,$

সুতরাং দুটি $\,\,\textbf{O}\,\,$  একত্রে থাকবে না এই শর্তে যত রকমে $\,\,\textbf{FOOTBALL}\,\,$  শব্দটির অক্ষর গুলো সাজানো যায় তা হল

$=\,\frac{8!}{2! \times 2!}-\frac{7!}{2!}\\=\frac{8.7!}{2 \times 2}-\frac{7!}{2}\\=\frac{7!}{2} \times (\frac{8}{2}-1)\\=\color{red}{7560}\,$