Permutation | বিন্যাস | S N De Maths Solution | Part-5

 

$21.\,$ কত রকমে $\,\,\textbf{ALJEBRA}\,\,$  শব্দটির অক্ষরগুলো সাজানো যায়? দুটি $\,\,\textbf{A}\,\,$  একত্রে থাকবে না এই শর্তে কত রকমে $\,\,\textbf{ALJEBRA}\,\,$  শব্দটির অক্ষর গুলো সাজানো যায়?

 Sol. প্রদত্ত $\,\,\textbf{ALJEBRA}\,\,$ শব্দটির মধ্যে $\,\color{blue}{A}\,$ এই বর্ণটি দুবার আছে; সুতরাং শব্দটির অক্ষরগুলোর নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা হল $=\,\frac{7!}{2!}=\color{blue}{2520}.\,$

যদি দুটি $\,A\,$ একত্রে থাকে সেক্ষেত্রে মোট বর্ণের সংখ্যা হয় $=7-2+1=6.\,$  সুতরাং সেক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা হল $=\,6!=\color{red}{720}.\,$

সুতরাং দুটি $\,\,\textbf{A}\,\,$  একত্রে থাকবে না এই শর্তে যত রকমে $\,\,\textbf{ALJEBRA}\,\,$  শব্দটির অক্ষর গুলো সাজানো যায় তা হল= $\color{blue}{2520}-\color{red}{720}=\color{brown}{1800}.$

22. দুটি $\,\,\textbf{P}\,\,$  একত্রে থাকবে না এই শর্তে কত রকমে $\,\,\textbf{PEOPLE}\,\,$  শব্দটির অক্ষর গুলো সাজানো যায়?

 Sol. প্রদত্ত শব্দটির মধ্যে $\,\color{blue}{P,E}\,$ এই বর্ণ দুটি দুবার করে আছে; সুতরাং  শব্দটির অক্ষরগুলোর নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা হল $=\,\frac{6!}{2! \times 2!}.\,$

যদি দুটি $\,P\,$ একত্রে থাকে সেক্ষেত্রে মোট বর্ণের সংখ্যা হয় $=6-2+1=5.\,$  সুতরাং সেক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা হল $=\,\frac{5!}{2!}.\,$

সুতরাং দুটি $\,\,\textbf{P}\,\,$  একত্রে থাকবে না এই শর্তে যত রকমে $\,\,\textbf{PEOPLE}\,\,$  শব্দটির অক্ষর গুলো সাজানো যায় তা হল 

$=\,\frac{6!}{2! \times 2!}-\frac{5!}{2!}\\=\frac{6.5!}{2 \times 2}-\frac{5!}{2}\\=\frac{5!}{2} \times (\frac{6}{2}-1)\\=\color{red}{120}\,$

$23.\,$ COMMITTEE শব্দটির সমস্ত অক্ষর একযোগে নিয়ে কতগুলি বিন্যাস গঠন করা যায় যাতে স্বরবর্ণ চারটি একত্রে না থাকে? (H.S. $\,1983$)

Sol.  COMMITTEE শব্দটিতে মোট $\,9\,$ টি অক্ষর আছে কোন বাধ্যবাধকতা না থাকলে এই নটি অক্ষর নিজের মধ্যে $\,\color{blue}{\frac{9!}{2!2!2!}}\,$ প্রকারে বিন্যস্ত করা যায় কেননা এর মধ্যে $\,\color{red}{M,T,E}\,$  দুটি করে আছে।

এছাড়া এই শব্দে চারটি স্বরবর্ণ  $\,\color{#4B5320}{O,I,E,E}\,$ আছে।  এই চারটি বর্ণকে একটি বর্ণ ধরলে মোট বর্ণের সংখ্যা হয়$=\color{#004225}{9-4+1=6.}\,\,$  এই $\,6\,$ বর্ণ/অক্ষরকে নিজেদের মধ্যে  $\,\color{#480607}{\frac{6!}{2!2!}}\,$ প্রকারে বিন্যস্ত করা যায়।  কেননা এদের মধ্যে দুটি করে $\,\color{#006B3C}{M,T}\,$ আছে। আবার চারটি স্বরবর্ণ কে নিজেদের মধ্যে  $\,\frac{4!}{2!}\,$ প্রকারে বিন্যস্ত করা যায় কেননা এর মধ্যে দুটি  $\,\color{#4B5320}{E}\,$ আছে।

সুতরাং যে বিন্যাস গুলিতে চারটে স্বরবর্ণ একত্রে থাকবে তাদের সংখ্যা হল$=\,\color{#480607}{\frac{6!}{2!2!}} \times \frac{4!}{2!}=2160\,$   

কাজেই যে বিন্যাস গুলিতে স্বরবর্ণ গুলি একত্রে থাকবে না তাদের সংখ্যা হল

 $=\,\color{blue}{\frac{9!}{2!2!2!}}-2160\\=45360-2160\\=43200\,$

 $24.~~\,\color{blue}{\text{ORION}}\,$ শব্দের অক্ষরগুলি কত প্রকারের বিন্যাস করা যায় যাতে দুটি ব্যঞ্জনবর্ণ কখনো একত্রে না থাকে , তা নির্ণয় করো। 

 Sol.  $\,\color{blue}{\text{ORION}}\,\,$ শব্দটির বর্ণ সংখ্যা $\,5\,$ টি। কোন বাধ্যবাধকতা না থাকলে এই পাঁচটি বর্ণকে নিজেদের মধ্যে $\,\frac{5!}{2!}\,$ প্রকারে বিন্যস্ত করা যায়, কেননা এই পাঁচটি  বর্ণের মধ্যে দুটি $\,\color{red}{O}\,$ আছে ।এক্ষেত্রে ব্যঞ্জন বর্ণ দুটিকে যথাঃ R ও N -কে একটি বর্ণ ধরলে শব্দটিতে বর্ণ সংখ্যা হয় $\,4\,$ টি।  এই চারটি বর্ণকে নিজেদের মধ্যে $\,\frac{4!}{2!}\,$  প্রকারে সাজানো যায়, কেননা এদের মধ্যে দুটি $\,\color{red}{O}\,$ আছে।

আবার ব্যঞ্জন বর্ণ দুটিকে নিজেদের মধ্যে $\,2!\,$প্রকারে বিন্যস্ত করা যায়।         

সুতরাং যে বিন্যাস গুলিতে ব্যঞ্জনবর্ণ দুটি একত্রে থাকে তাদের সংখ্যা $=\,\frac{4!}{2!} \times 2!=4!=24.\,$   

সুতরাং যে বিন্যাস গুলিতে ব্যঞ্জনবর্ণ দুটি একত্রে থাকেনা তার সংখ্যা

$=\,\frac{5!}{2!}-24=60-24=36\,$

$25.\,$ দেখাও যে $\,\textbf{INSURANCE}\,$ শব্দটির অক্ষর সমুহের বিন্যাস সংখ্যা $\,\,\textbf{ECONOMICS}\,\,$ শব্দটির অক্ষর সমুহের বিন্যাস সংখ্যার দ্বিগুণ হবে।

Sol.  প্রশ্ন অনুযায়ী $\,\textbf{INSURANCE}\,$ শব্দটিতে মোট বর্ণ= $\,9\,$টি,যার মধ্যে N বর্ণটি দুবার  আছে। তাই এই শব্দটির অক্ষরগুলিকে নিয়ে নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা হবে $\,=\frac{9!}{2!}\, \rightarrow(1)$ 

আবার,প্রশ্ন অনুযায়ী $\,\,\textbf{ECONOMICS}\,\,$ শব্দটিতে মোট বর্ণ= $\,9\,$টি,যার মধ্যে C,O বর্ণদুটি দুবার করে আছে। তাই এই শব্দটির অক্ষরগুলিকে নিয়ে নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা হবে $\,=\frac{9!}{2! \times 2!}\, \rightarrow (2)$ 

সুতরাং, $\,(1)\,$ ও $\,(2)\,$ নং থেকে বলতে পারি ,$\,\textbf{INSURANCE}\,$ শব্দটির অক্ষর সমুহের বিন্যাস সংখ্যা $\,\,\textbf{ECONOMICS}\,\,$ শব্দটির অক্ষর সমুহের বিন্যাস সংখ্যার দ্বিগুণ হবে।

 $26.~~\,x^3y^2z^4\,\,$রাশিটির অক্ষরসমূহ পূর্ণদৈর্ঘ্যে লিখলে তা থেকে কতগুলি বিভিন্ন বিন্যাস পাওয়া যাবে?

Sol. প্রদত্ত$\,\,x^3y^2z^4=\color{red}{xxx}\color{blue}{yy}\color{brown}{zzzz}\,\,$ রাশির অক্ষর সমূহের মোট বর্ণ সংখ্যা $\,=9.\,\,$  

 এদের মধ্যে $\,x\,\,$বর্ণটি $\,3\,$বার, $\,y\,\,$বর্ণটি $\,2\,$বার, $\,z\,\,$বর্ণটি $\,4\,$বার করে আছে।  

 সুতরাং সেক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা হল $=\,\frac{9!}{3! \times 2! \times 4!}=\frac{9\cdot 8\cdot 7 \cdot 6\cdot 5 \cdot4!}{3\cdot 2 \cdot 2\cdot4!}=\color{red}{1260}.\,$  

$27.\,$ একজন ব্যক্তির নাম $\,9\,$ অক্ষর বিশিষ্ট এবং একটি অক্ষর একাধিকবার ও অন্য অক্ষরগুলির প্রত্যেকটি একটি করে আছে। যদি তার নামের অক্ষর গুলির মোট বিন্যাস সংখ্যা $\,\,15120\,\,$ হয় তবে একজাতীয় অক্ষরটি কতবার আছে?

 Sol. ধরা যাক, একজাতীয় অক্ষরটি $\,x\,$ বার আছে।  সেক্ষেত্রে  শব্দটির অক্ষরগুলির  নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা হবে$=\frac{9!}{x!}.$

 সুতরাং প্রশ্নানুসারে,  

$\frac{9!}{x!}=15120\\ \Rightarrow x!=\frac{9!}{15120}=\frac{9.8.\color{blue}{7!}}{\color{blue}{15120}}=\frac{7!}{210}=24=4!\\ \Rightarrow  \color{red}{x=4}. $

 $28.~~~\,567724\,$ সংখ্যাটির অংকগুলির সাহায্যে কতগুলি ৬ অংক বিশিষ্ট সংখ্যা গঠিত হতে পারে? এই সংখ্যাগুলির মধ্যে কতগুলি যুগ্ম সংখ্যা হবে?

Sol.  Part- $1.$  $\,\,\,567724\,$ সংখ্যাটির ছটি অংকের মধ্যে $\,2\,$টি $\,7\,$ এবং চারটি ভিন্ন অংক ($\,5,6,2,4\,\,$) রয়েছে।  

সুতরাং, $\,567724\,$ সংখ্যাটির 6 টি অঙ্ক দ্বারা গঠিত বিন্যাসের সংখ্যা $=\frac{6!}{2!}=360.\\$ 

Part- $2.$ $\quad$   $\,567724\,$ সংখ্যাটির দ্বারা গঠিত বিন্যাসের সংখ্যা যুগ্ম সংখ্যা হবে যদি একেবারে ডানদিকের (এককের) অঙ্কটি $\,6\,$ অথবা  $\,2\,$ অথবা $\,4\,$ হয়, যা $\,3\,$ রকমের সম্ভব।

 অবশিষ্ট পাঁচটি স্থান $\,2\,$টি $\,7\,$ এবং তিনটি ভিন্ন অঙ্ক দ্বারা পূর্ণ করা যায় $\frac{5!}{2!}$ রকমে। 

 সুতরাং  $\,567724\,$  সংখ্যাটির অংকগুলি দ্বারা গঠিত ছয় অঙ্কের যুগ্ম সংখ্যা = $3 \times \frac{5!}{2!}=180. $

$29.\,\,$ অযুগ্ম অঙ্ক গুলিকে অযুগ্ম স্থানে রেখে $\,4,2,2,2,3,3,5,5\,$  অংক গুলো সাহায্যে আট অঙ্ক বিশিষ্ট কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায়?

Sol. আট অংকবিশিষ্ট কোন সংখ্যাতে  চারটি অযুগ্ম ও চারটি যুগ্ম স্থান আছে। প্রশ্ন অনুযায়ী, চারটি অযুগ্ম সংখ্যা ($\,2\,$টি $\,3\,$ ও $\,2\,$টি $\,5\,$ ) আছে ও চারটি যুগ্ম সংখ্যা ($\,1\,$টি $\,4\,$ ও $\,3\,$টি $\,2\,$ ) আছে।

সুতরাং চারটি অযুগ্ম স্থানে অযুগ্ম সংখ্যা রাখা যায় $=\frac{4!}{2! \times 2!}=6$ প্রকারে 

এবং চারটি যুগ্ম স্থানে যুগ্ম সংখ্যা রাখা যায় $=\frac{4!}{3!}=4$ প্রকারে। 

সুতরাং, অযুগ্ম অঙ্ক গুলিকে অযুগ্ম স্থানে রেখে $\,4,2,2,2,3,3,5,5\,$  অংক গুলো সাহায্যে আট অঙ্ক বিশিষ্ট $\,6 \times 4=24\,$টি সংখ্যা গঠন করা যায়। 

 $30.~~~\,0,2,5,2,4,5\,\,$ এই অংকগুলির সাহায্যে এক লক্ষ অপেক্ষা বড় কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায়?

Sol.  প্রশ্ন অনুযায়ী, মোট প্রদত্ত অংক সংখ্যা$\,\,6\,$ টি। এই ছটি অঙ্কের সবগুলি একত্রে নিয়ে মোট বিন্যাস সংখ্যা হয়$=\frac{6!}{2! \times 2!}=\frac{6.5.4.3.2.1}{4}=180$ 

আবার শূন্যকে প্রথম স্থানে রেখে বাকি অংক গুলোকে $=\frac{5!}{2! \times 2!}=30\,\,$ প্রকারে বিন্যাস করা যেতে পারে এবং এই বিন্যাসের ফলে গঠিত সংখ্যাগুলি এক লক্ষ অপেক্ষা ছোট।  

সুতরাং, $\,0,2,5,2,4,5\,\,$ এই অংকগুলির সাহায্যে এক লক্ষ অপেক্ষা বড় $\,\,180-30=\color{blue}{150}\,\,$ টি সংখ্যা গঠন করা যায়।